質問

質問＜３３６５＞への回答としてμG さんが参照された
質問＜２７９１＞におけるCononymous Award さんの回答
に対するKINOさんの訂正投稿(以下)について、教えていただきたいのでお願いします。

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R^2 は，ふたつの実数 x, y の組の集合です。
いわゆる xy 平面のことだと思って差し支えありません。

1，2 ではいずれも f が 平面上の点を平面上の他の点に写す写像として与えられて
います。
ですから，原点を中心とする単位円の内部 A の点を f で飛ばした先の点の集合
f(A) がどういうものなのかを求めることが問題です。

1. f(x,y)=(X,Y) とおき，(x,y)∈A のとき X と Y の関係がどうなっているかを
調べます。
そうすると，X=2x，Y=3y ですから，x=X/2，y=Y/3 となり，x^2+y^2＜1 なので，
(X,Y) は (X/2)^2+(Y/3)^2＜1 をみたします。
これは楕円 (x/2)^2+(y/3)^2=1 の内部を表す不等式です。
楕円を表す方程式についてご存じないかもしれませんが，
それはご自分でお調べ下さい。

2. X=x+y, Y=xy とおくと，x^2+y^2=(x+y)^2-2xy より，X^2-2Y＜1 となります。
一方，x，y は実数ですから (x-y)^2≧0 です。
したがって，(x-y)^2=(x+y)^2-4xy より，X^2-4Y≧0 でなければなりません。
以上より，ふたつの放物線 y=(x^2-1)/2 と y=x^2/4 で囲まれた部分が
f による A の像 f(A) であることがわかりました。
正確には，y＞(x^2-1)/2 より y=(x^2-1)/2 のグラフの上側であり，
かつ y≦x^2/4 より y=x^2/4 上の点またはそれよりも下にあるような点です。
そしてこれらの交点 (±√2,1/2) はどちらも含みません。
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最後の方で、いきなり　「x，y は実数ですから (x-y)^2≧0 です。」　という
式が出てきますが、どうしてなのですか？

お願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００７／３／９
from=UnderBird

たとえば、X=1,Y=1はX^2-2Y＜1を満たしていますが、fの原像(x,y)を求めてみると
x+y=1,xy=1より、2次方程式t^2-t+1=0を解いて、1±√3 iとなり、x,yが実数になっ
ていません。
X^2-2Y＜1だけでは、x,yが実数でない場合もあるのです。
すなわち、X,Yが実数であっても、x,yは実数であるとは限らないって事です。
ですから、上の例のようにX=x+y,Y=xyの満たすべき条件として、
2次方程式t^2-Xt+Y=0の解が実数であるために、判別式D=X^2-4YがD≧0の条件が必要
になります。