質問

Ⅰ．A,B,C,Dの各クラスから少なくとも１人は委員を出して７人の委員会
を作る。委員会のクラス構成は何通りあるか。

Ⅱ．１辺の長さが１の正方形の頂点を時計回りにA,B,C,Dとする。硬貨を
投げて、表ならば２，裏ならば１時計回りに周上を動く運動を考える。
Aから出発して硬貨を１０回投げたとき２の１０乗通りの動き方があるが、
その内最後にAにいる場合は何通りあるか。

Ⅲ．x,y,zは正の整数で三角形の３辺をなし、和が20であるという。この
様な正の整数の組(x,y,z)は何組あるか。また合同でない三角形はいくつ
あるか。

Ⅳ．１２段の階段を１歩１段か２段をまじえて登る方法は、全部で何通り
あるか。

お返事２０００／１１／１１
from=武田

問１
やり方は２つある。全部書き出す方法と垣根を入れる方法である。
まず全部書き出す方法でやると、
Ａ－Ｂ－Ｃ－Ｄ
４－１－１－１
３－１－１－２
３－１－２－１
３－２－１－１
２－１－１－３
２－１－３－１
２－３－１－１
２－１－２－２
２－２－１－２
２－２－２－１
１－１－１－４
１－１－４－１
１－４－１－１
１－１－２－３
１－２－１－３
１－２－３－１
１－１－３－２
１－３－１－２
１－３－２－１
１－２－２－２
以上より、２０通り……（答）
垣根を入れる方法だと、
各クラス少なくとも一人が入るから、７人の内、４人は決まったことに
して、残りの３人を垣根式で求めると、ＡＢＣＤのクラスに３人の○が
入る場合の数は、例えば○○｜○｜｜とすると、これはＡＡＢという風
に、Ａ組から２人、Ｂ組から１人、Ｃ組とＤ組からは無しと読みとりま
す。これは○３個と｜３個より、６個の中から３つ選ぶ組合せなので、
　　　６・５・４
₆Ｃ₃＝─────＝２０通り……（答）
　　　３・２・１

問２
Ａ────Ｂ
｜　　　　｜
｜　　　　｜
｜　　　　｜
Ｄ────Ｃ
各辺の長さを１とする。右回りに回るわけだが、同じ点Ａにくるのは、
４の倍数だから、４，８，１２，１６，２０，２４……となるが、硬貨
１０回投げるので、１０×１＝１０または、１０×２＝２０より、
１０≦Ｍ≦２０となる。なお、Ｍは移動距離である。
（１）Ｍ＝１２のとき、
　　　　　１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋２＋２＝１２
　　　　　１０回中２回２がくるのは、
　　　　　　　　　１０・９
　　　　　₁₀Ｃ₂＝────＝４５通り
　　　　　　　　　　２・１

（２）Ｍ＝１６のとき、
　　　　　１＋１＋１＋１＋２＋２＋２＋２＋２＋２＝１６
　　　　　１０回中６回２がくるのは、
　　　　　　　　　　　　１０・９・８・７
　　　　　₁₀Ｃ₆＝₁₀Ｃ₄＝────────＝２１０通り
　　　　　　　　　　　　　４・３・２・１

（３）Ｍ＝２０のとき、
　　　　　２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＝２０
　　　　　１０回中１０回２がくるのは、
　　　　　₁₀Ｃ₁₀＝１通り

（１）（２）（３）より、
　　４５＋２１０＋１＝２５６通り……（答）

問３
※ここの解は、うっかり三角形であることを忘れて回答
してしまいましたので、３辺が１，１，１８のようなあり得ない
ものも答えにしてしまいました。ももっちさんからのお便りにより、
その点が指摘され、全面的に取り消しました。
アドバイス、ありがとうございます。（武田）
なお、正解は下のお便りをご覧下さい。
　　　Ａ
　ｘ／　＼ｚ
　／　　　＼
Ｂ─────Ｃ
　　　ｙ

問４
１２段の階段を考える前に、一段ずつ増やしてみましょう。
１段の時、１通り
２段の時、１＋１＝２通り
３段の時、１＋２＝３通り
４段の時、１＋３＋１＝５通り
５段の時、１＋４＋３＝８通り
したがって、この数列はフィボナッチ数列だから、
このあと、
６段の時、５＋８＝１３通り
７段の時、８＋１３＝２１通り
８段の時、１３＋２１＝３４通り
９段の時、２１＋３４＝５５通り
１０段の時、３４＋５５＝８９通り
１１段の時、５５＋８９＝１４４通り
１２段の時、８９＋１４４＝２３３通り　……（答）

お便り２０００／１１／１２
from=ももっち

Ⅲ．x,y,zは正の整数で三角形の３辺をなし、和が20であるという。この
様な正の整数の組(x,y,z)は何組あるか。また合同でない三角形はいくつ
あるか。
　この問題なんですが、三角形の性質で
ｙ－ｚ＜ｘ＜ｙ＋ｚ、ｚ－ｘ＜ｙ＜ｚ＋ｘ、ｘ－ｙ＜ｚ＜ｘ＋ｙという
のを問題集で見つけました。それと武田先生の送って下さった解答とを
あわせて考えてみたんですが、この性質の後半部分、例えばｘ＜ｙ＋ｚ
を使って、ｘ＜ｙ＋ｚ→ｘ＜20－ｘ→ｘ＜10となり、
同様にy＜10、z＜10というのも出てきます。
それでｘ＝１の時からｘ＝９の時までを書き出していくと、
下のようになりました。
ｘ＝１の時　（ｙ、ｚ）→なし。
ｘ＝２の時　（ｙ、ｚ）→（9,9）→１通り
ｘ＝３の時　（ｙ、ｚ）→（9,8）（8,9）→２通り
ｘ＝４の時　（ｙ、ｚ）→（9,7）（8,8）（7,9）→３通り
ｘ＝５の時　（ｙ、ｚ）→（9,6）（8,7）（7,8）（6,9）→４通り
ｘ＝６の時　（ｙ、ｚ）→（9,5）（8,6）（7,7）（6,8）（5,9）→５通り
ｘ＝７の時　（ｙ、ｚ）→（9,4）（8,5）（7,6）（6,7）（5,8）（4,9）→６通り
ｘ＝８の時　（ｙ、ｚ）→（9,3）（8,4）（7,5）（6,6）（5,7）（4,8）（3,9）→７通り
ｘ＝９の時　（ｙ、ｚ）→（9,2）（8,3）（7,4）（6,5）（5,6）（4,7）（3,8）（2,9）→　８通り
それで和の法則で、１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＝３６（通り）と
なったのですが、これはあっているのでしょうか。
先生の送って下さった解答だと、ｘ＜10、y＜10、ｚ＜10にあわないもの
があるのですが・・・。
それと合同でない三角形は（2,9,9）（9,2,9）（9,9,2）の３通りは合同で、
（3,8,9）（3,9,8）（8,9,3）（8,3,9）（9,3,8）（9,8,3）の６通りは合同
だから、この様に考えていくと、
（2,9,9）（3,8,9）（4,7,9）（4,8,8）（5,6,9）（5,7,8）（6,6,8）（6,7,7）
の８個が合同でない三角形と出てきたのですが・・・。
お手数ですが、これで答え合わせをしてみていただけないでしょうか。
どうかよろしくお願いします。

お返事２０００／１１／１２
from=武田

全面的に正解です。