質問<353>2000/11/10
Ⅰ.A,B,C,Dの各クラスから少なくとも1人は委員を出して7人の委員会 を作る。委員会のクラス構成は何通りあるか。 Ⅱ.1辺の長さが1の正方形の頂点を時計回りにA,B,C,Dとする。硬貨を 投げて、表ならば2,裏ならば1時計回りに周上を動く運動を考える。 Aから出発して硬貨を10回投げたとき2の10乗通りの動き方があるが、 その内最後にAにいる場合は何通りあるか。 Ⅲ.x,y,zは正の整数で三角形の3辺をなし、和が20であるという。この 様な正の整数の組(x,y,z)は何組あるか。また合同でない三角形はいくつ あるか。 Ⅳ.12段の階段を1歩1段か2段をまじえて登る方法は、全部で何通り あるか。
お返事2000/11/11
from=武田
問1 やり方は2つある。全部書き出す方法と垣根を入れる方法である。 まず全部書き出す方法でやると、 A-B-C-D 4-1-1-1 3-1-1-2 3-1-2-1 3-2-1-1 2-1-1-3 2-1-3-1 2-3-1-1 2-1-2-2 2-2-1-2 2-2-2-1 1-1-1-4 1-1-4-1 1-4-1-1 1-1-2-3 1-2-1-3 1-2-3-1 1-1-3-2 1-3-1-2 1-3-2-1 1-2-2-2 以上より、20通り……(答) 垣根を入れる方法だと、 各クラス少なくとも一人が入るから、7人の内、4人は決まったことに して、残りの3人を垣根式で求めると、ABCDのクラスに3人の○が 入る場合の数は、例えば○○|○||とすると、これはAABという風 に、A組から2人、B組から1人、C組とD組からは無しと読みとりま す。これは○3個と|3個より、6個の中から3つ選ぶ組合せなので、 6・5・4 6C3=─────=20通り……(答) 3・2・1 問2 A────B | | | | | | D────C 各辺の長さを1とする。右回りに回るわけだが、同じ点Aにくるのは、 4の倍数だから、4,8,12,16,20,24……となるが、硬貨 10回投げるので、10×1=10または、10×2=20より、 10≦M≦20となる。なお、Mは移動距離である。 (1)M=12のとき、 1+1+1+1+1+1+1+1+2+2=12 10回中2回2がくるのは、 10・9 10C2 =────=45通り 2・1 (2)M=16のとき、 1+1+1+1+2+2+2+2+2+2=16 10回中6回2がくるのは、 10・9・8・7 10C6 =10C4 =────────=210通り 4・3・2・1 (3)M=20のとき、 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=20 10回中10回2がくるのは、 10C10=1通り (1)(2)(3)より、 45+210+1=256通り……(答) 問3 ※ここの解は、うっかり三角形であることを忘れて回答 してしまいましたので、3辺が1,1,18のようなあり得ない ものも答えにしてしまいました。ももっちさんからのお便りにより、 その点が指摘され、全面的に取り消しました。 アドバイス、ありがとうございます。(武田) なお、正解は下のお便りをご覧下さい。 A x/ \z / \ B─────C y 問4 12段の階段を考える前に、一段ずつ増やしてみましょう。 1段の時、1通り 2段の時、1+1=2通り 3段の時、1+2=3通り 4段の時、1+3+1=5通り 5段の時、1+4+3=8通り したがって、この数列はフィボナッチ数列だから、 このあと、 6段の時、5+8=13通り 7段の時、8+13=21通り 8段の時、13+21=34通り 9段の時、21+34=55通り 10段の時、34+55=89通り 11段の時、55+89=144通り 12段の時、89+144=233通り ……(答)
お便り2000/11/12
from=ももっち
Ⅲ.x,y,zは正の整数で三角形の3辺をなし、和が20であるという。この 様な正の整数の組(x,y,z)は何組あるか。また合同でない三角形はいくつ あるか。 この問題なんですが、三角形の性質で y-z<x<y+z、z-x<y<z+x、x-y<z<x+yという のを問題集で見つけました。それと武田先生の送って下さった解答とを あわせて考えてみたんですが、この性質の後半部分、例えばx<y+z を使って、x<y+z→x<20-x→x<10となり、 同様にy<10、z<10というのも出てきます。 それでx=1の時からx=9の時までを書き出していくと、 下のようになりました。 x=1の時 (y、z)→なし。 x=2の時 (y、z)→(9,9)→1通り x=3の時 (y、z)→(9,8)(8,9)→2通り x=4の時 (y、z)→(9,7)(8,8)(7,9)→3通り x=5の時 (y、z)→(9,6)(8,7)(7,8)(6,9)→4通り x=6の時 (y、z)→(9,5)(8,6)(7,7)(6,8)(5,9)→5通り x=7の時 (y、z)→(9,4)(8,5)(7,6)(6,7)(5,8)(4,9)→6通り x=8の時 (y、z)→(9,3)(8,4)(7,5)(6,6)(5,7)(4,8)(3,9)→7通り x=9の時 (y、z)→(9,2)(8,3)(7,4)(6,5)(5,6)(4,7)(3,8)(2,9)→ 8通り それで和の法則で、1+2+3+4+5+6+7+8=36(通り)と なったのですが、これはあっているのでしょうか。 先生の送って下さった解答だと、x<10、y<10、z<10にあわないもの があるのですが・・・。 それと合同でない三角形は(2,9,9)(9,2,9)(9,9,2)の3通りは合同で、 (3,8,9)(3,9,8)(8,9,3)(8,3,9)(9,3,8)(9,8,3)の6通りは合同 だから、この様に考えていくと、 (2,9,9)(3,8,9)(4,7,9)(4,8,8)(5,6,9)(5,7,8)(6,6,8)(6,7,7) の8個が合同でない三角形と出てきたのですが・・・。 お手数ですが、これで答え合わせをしてみていただけないでしょうか。 どうかよろしくお願いします。
お返事2000/11/12
from=武田
全面的に正解です。