質問

[問題]
円Γ、Γと共有点を持たない直線Λ、およびΛに関してΓの同側かつΓの外側
に点Pが与えられているとする。このとき、Pを通りΓに接しΛと直交する円を
作図せよ。

[答案]
 Γの中心をQとすると、Λをx-軸、Qをy-軸の正の部分、またPを第1象限にあ
るとして一般性を失わない。

xy-平面の原点をOとする。線分OQを直径とする円を描き、これをΓ_Aと名付け
る。Γ_AとΓとの交点のうち、任意に1つ選びAと名付ける。Oを中心としAを通
る円を描き、これをΓ_Bと名付ける。Γ_Bとy-軸の正の部分との交点をBと名
付ける。線分BPの中点をMと名付ける。線分BPの垂直二等分線を描き、x-軸と
の交点をDと名付ける。Pを通り直線DPと直交する直線を描き、y-軸との交点を
Eと名付ける。Eを中心としPを通る円を描き、これをΓ_Tと名付ける。Γ_Tと
y-軸との交点のうち、Oに近いものをTと名付ける。また、Γとy-軸との交点の
うち、Oに近いものをSと名付けておく。

Γ_Bとx-軸との交点のうち、x-軸の負の部分にあるものをB_1、また正の部分
にあるものをB_2と名付ける。y-軸上に点S_1を、|BS_1|=|OS|かつΓ_Bの外側
になるようにとる。同様にy-軸上に点T_1を、|BT_1|=|OT|かつΓ_Bの外側にな
るようにとる。またx-軸上に点S_2を、|BS_2|=|OS|かつ、今度はΓ_Bの内側に
なるようにとる。同様にx-軸上に点T_2を、|BT_2|=|OT|かつΓ_Bの内側になる
ようにとる。Bを通り直線S_1S_2に平行な直線を描き、x-軸との交点をU と名
付ける。Oを中心としUを通る円を描き、これをΓ_Uと名付ける。同様にBを通
り直線T_1T_2に平行な直線を描き、x-軸との交点をV と名付ける。Oを中心と
しVを通る円を描き、これをΓ_Vと名付ける。Γ_Uとy-軸の正の部分との交点
をU_1と名付ける。またΓ_U とx-軸の正の部分との交点をU_2と名付ける。U_2
を通り直線U_1B_2に平行な直線を描き、y-軸との交点をWと名付ける。線分WB
の中点をNと名付ける。Nを通りU_1B_2に平行な直線を描き、x-軸との交点をX
と名付ける。Xを中心としU_2を通る円を描き、これをΓ_Xと名付ける。Γ_Xと
Γ_Vとの交点のうち、任意に1つ選びYと名付ける。Yを通り直線YXと直交する
直線を描き、Γ_Yとの交点のうち任意に1つ選びZと名付ける。

Pを中心とし半径|OY|の円を描き、これをΓ_Pと名付ける。Γ_Pと直線PDとの
交点のうち、任意に1つ選びFと名付ける。Fを中心とし半径|OZ|の円を描き、
これをΓ_Fと名付ける。Γ_FとΓ_Pとの交点をG_1,G_2と名付ける。直線PG_1
とx-軸との交点をH_1とする。H_1を中心としPを通る円を描き、これをΓ_1と
名付ける。同様に、直線PG_2とx-軸との交点をH_2とする。H_2を中心としPを
通る円を描き、これをΓ_2と名付ける。

Γ_1,Γ_2の2つの円が作図すべきものになっている。□

[質問]
上記の作図法は手数が多く、実際に定木とコンパスで作図しようとすると作図
誤差が大きくなりすぎて全然円Γに接しない。もっとエレガントな作図法はな
いか？

作図例をファイルに添付しました。よろしくお願いします。



★希望★完全解答★
お便り２００７／６／２７
from=UnderBird