質問＜３６０８＞２００７／９／１６
from=小豆
「関数の連続性と微分可能性」

y=sinx(－∞,∞)で連続性を示し,微分可能であることを示せ。

上記の問題ですが, y=sinxは連続関数なので当然なのですが,
証明にすると「ｘ＝０　で右方連続,左方連続なので(－∞,∞)で連続」
で良いのでしょうか？－∞,∞では区間連続は使えないのですか？

また、ｘ＝０で一定の値に収束するので微分可能、ｘ≠０のとき
定義より計算して,ｙ’＝cosx より微分可能。このように解いてみた
のですが,勝手にｘ＝０のときと場合わけしてよいものか悩んでいます。

※類似問題はｘ＝０かｘ≠０で場合わけされている問題が多いので。

良きアドバイスを下さい。宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００７／９／２７
from=cqzypx

お便り２００７／９／２８
from=小豆

いつもお世話になっています。

３６０８「連続性と微分可能性の証明」へのアドバイス
ありがとうございます。

１つ質問ですが、加法定理を使うとは「微分可能性の証明」だと思うのですが、
(１) 連続性の証明(２)微分可能性の順番で証明なのですが、この場合、(２)から
解き、「微分可能→連続」の証明では問題の意図に適さないのでしょうか？

お便り２００７／９／２８
from=小豆

先日再質問させて頂いた項目は自力で分かりました。
ありがとうございます。(昨日の再質問は削除して下さって
結構です。ありがとうございました。)

しかし,やはり(－∞,∞)の部分が問題とどう関わってくるか
疑問です。
任意のｘ１について連続性や微分可能性が証明できたなら、
開区間は関係ないのでしょうか？

良きアドバイスを宜しくお願いします。

お便り２００７／９／２８
from=亀田馬志

＞「微分可能→連続」の証明では問題の意図に適さないのでしょうか？

問題の意図に適す、適さない以前の問題だと思います。
何故なら微分の定義上、

「連続じゃない関数は微分できないから」

です。
微分できるから連続である、ではないんですよ。
ちょっとその辺り、もう１回「微分の定義」教科書戻って確認してみてください。