質問＜３６３５＞２００７／１１／１６
from=あやお
「証明問題」

①
「a,b,cは実数とするとき、
a+b+c≧0、ab+bc+ca≧0、abc≧0ならば、a≧0、b≧0、c≧0　
を背理法を用いて証明」

②
「G={x|x∈R,|x|＜１}とする。
x,y∈Gに対してx・y=(x+y)/(1+xy)と定義するとき、x,y∈Gについてx・y∈Gを示せ」

の２問を教えてください。
よろしくお願いします。 

★希望★完全解答★

お便り２００８／２／７
from=関谷 敏雄

①
背理法による証明

ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ≧ ０　　・・・・・［１］
ａｂ ＋ ｂｃ ＋ ｃａ ≧ ０　・・・［２］
ａｂｃ ≧ ０　　　・・・・・・・・［３］
であるとき、ａ ＜ ０ と仮定して矛盾を導く。

［１］　から、ｂ， ｃ のうち１つは正でなければならない。
ｂ ＞ ０ として以下証明するが、ｃ ＞ ０ の場合も同様である。
［３］から、ｃ ≦ ０ となる。
［１］， ａ ＜ ０ から、ｂ ＋ ｃ ＞ ０
両辺に ａ をかけると、ａｂ ＋ ｃａ ＜ ０
また、ｂｃ ≦ ０ であるから、
ａｂ ＋ ｂｃ ＋ ｃａ ＜ ０
これは、［２］と矛盾する。
よって、ａ ≧ ０ でなければならない。
同様にして、ｂ ≧ ０， ｃ ≧ ０ である。
　　　　　　　　　　証明終

なお、この問題が、一般的な形で、数学セミナーの
「エレガントな解答を求む」に出題されたことがあります。
そのときの解答が誠にエレガントであったので、ここに
紹介したいと思います。

ｆ（ｘ） ＝ （ｘ ＋ ａ）（ｘ ＋ ｂ）（ｘ ＋ ｃ） とする。
展開すると、
ｆ（ｘ） ＝ ｘ＾２ ＋ （ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）ｘ＾２ ＋ （ａｂ ＋ ｂｃ ＋ ｃａ）ｘ ＋ ａｂｃ

条件から、この方程式の係数はすべて０以上であるので、
ｘ ＞ ０ ならば、ｆ（ｘ） ＞ ０ である。
したがって、ｆ（ｘ） ＝ ０ の解はすべて０以下である。
最初の因数分解した形から、ｆ（ｘ） ＝ ０ の解は、
ｘ ＝ －ａ， ｘ ＝ －ｂ， ｘ ＝ －ｃ である。
－ａ ≦ ０，  －ｂ ≦ ０，  －ｃ ≦ ０
これより
ａ ≧ ０，  ｂ ≧ ０，  ｃ ≧ ０
　　　　　　　　　　証明終

この証明方法だと、ｎ文字の対称式の場合に拡張しても
簡単に証明できます。