質問<3635>2007/11/16
① 「a,b,cは実数とするとき、 a+b+c≧0、ab+bc+ca≧0、abc≧0ならば、a≧0、b≧0、c≧0 を背理法を用いて証明」 ② 「G={x|x∈R,|x|<1}とする。 x,y∈Gに対してx・y=(x+y)/(1+xy)と定義するとき、x,y∈Gについてx・y∈Gを示せ」 の2問を教えてください。 よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2008/2/7
from=関谷 敏雄
① 背理法による証明 a + b + c ≧ 0 ・・・・・[1] ab + bc + ca ≧ 0 ・・・[2] abc ≧ 0 ・・・・・・・・[3] であるとき、a < 0 と仮定して矛盾を導く。 [1] から、b, c のうち1つは正でなければならない。 b > 0 として以下証明するが、c > 0 の場合も同様である。 [3]から、c ≦ 0 となる。 [1], a < 0 から、b + c > 0 両辺に a をかけると、ab + ca < 0 また、bc ≦ 0 であるから、 ab + bc + ca < 0 これは、[2]と矛盾する。 よって、a ≧ 0 でなければならない。 同様にして、b ≧ 0, c ≧ 0 である。 証明終 なお、この問題が、一般的な形で、数学セミナーの 「エレガントな解答を求む」に出題されたことがあります。 そのときの解答が誠にエレガントであったので、ここに 紹介したいと思います。 f(x) = (x + a)(x + b)(x + c) とする。 展開すると、 f(x) = x^2 + (a + b + c)x^2 + (ab + bc + ca)x + abc 条件から、この方程式の係数はすべて0以上であるので、 x > 0 ならば、f(x) > 0 である。 したがって、f(x) = 0 の解はすべて0以下である。 最初の因数分解した形から、f(x) = 0 の解は、 x = -a, x = -b, x = -c である。 -a ≦ 0, -b ≦ 0, -c ≦ 0 これより a ≧ 0, b ≧ 0, c ≧ 0 証明終 この証明方法だと、n文字の対称式の場合に拡張しても 簡単に証明できます。