質問

１　　f:B→C, g:A→B, h: A→Bについて

　　　「fg=fh, fは単射⇒g=h」を示せ。

２　写像f:A→Aが全射であるとき

　　　「ff=fならばf=IA 」を示せ。
　　　ただしIAはＡの恒等写像とする。

★希望★完全解答★

お便り２００７／１２／１４
from=平　昭

こんにちは。
こういう問題は、抽象的で考えにくいかもしれませんね。
　問題１は、
もし、数どうしのかけ算ならば「両辺をｆで割る」ことができれば
簡単ですね。では、写像の場合「ｆで割る」ことに相当するのは？
と考えます。

１．ｆは単射なので、逆写像ｆ^-1が存在し、
ｆｆ^-1＝ｆ^-1ｆ＝Ｉ（Ｉは恒等写像）
そこで、与式の両辺にｆ^-1を左からかければ
ｆ^-1ｆg=fｆ^-1h
つまりIg=Ih
となってｇ＝ｈが示された。

問題２は、
「恒等写像」と「全射」の定義を思い出すことが大事です。
　ｆが恒等写像とはつまり

Ａに含まれる任意の元ａに対し　ｆ（ａ）＝ａ

のことでした。これを直接に証明します。

f:A→Aは全射なので、
Ａに含まれる任意の元ａに対して、
ｆ（α）＝ａ　を満たすＡの元αが存在する。
（全射の定義です。）

すると　ｆ（ａ）＝ｆ（ｆ（α））＝ｆｆ（α）
と書ける。
ここで、ff=fだから
ｆｆ（α）＝ｆ（α）＝ａ

上の二つの式を見比べれば結局
ｆ（a）＝ａ
が分かる。

証明終わり。