質問<3667>2008年1月11日
曲線 2ⅹ^2+2ⅹy+y^2=1 によって囲まれる部分の面積を求めよ。 ★希望★完全解答★
お便り2008/1/12
from=平 昭
こんばんは。 これは考え方が二つあります。 一つは地道に計算する方法です。 もう一つは、ほとんど計算不要ですが、 ちょっと知識が必要です。大学生なら知っている知識ではないでしょうか。 まずは地道なやり方から。 2ⅹ^2+2ⅹy+y^2=1をy について解くと y=-x±√(1-x^2) となり、yが実数として存在するxの範囲は-1≦x≦1 題意の曲線は-1≦x≦1の範囲で 上側の曲線 y=-x+√(1-x^2) と 下側の曲線 y=-x-√(1-x^2)に囲まれた閉曲線となる。 (グラフを描いてみれば分かる。) だから求める面積をSとおけば S=∫_-1^1 {(-x+√(1-x^2))-(-x-√(1-x^2))}dx =2∫_-1^1(√(1-x^2)dx これは積分計算するまでもなく、半径1の半円の面積の2倍。 よって S=π 次に、計算省略型の解法です。 2ⅹ^2+2ⅹy+y^2=1を変形して x^2+(x+y)^2=1 ここで f(x)=(1 0)(x)=(X) (y) (1 1)(y) (Y) という一次変換を用いて、題意の曲線を変換する。 (どうも行列表示が読みにくいので念のため書くと、 X=x Y=x+y という変換です。) すると明らかに X^2+Y^2=1 で、変換後の図形は単位円である。 そして、一般に2行2列の行列Aによる一次変換によって、 変換後の図形の面積は変換前の面積の|detA| 倍となる。 ここで、detAはAの行列式を意味する。、、、、★ (★を知らないと、この解法が使えません。 知っていれば、題意の曲線の式が、一次変換で円になるのはすぐ分かりますから、 変換してみて後は行列式で割る、というのを思いつくでしょう。) そして、fの変換行列の行列式は1だから、変換前後で面積は変わらない。 よって、求める面積をSとおけば S=π