質問＜３６６７＞２００８年１月１１日
from=たかし
「曲線に囲まれる部分の面積」

　曲線　２ⅹ^2＋２ⅹｙ＋ｙ^2＝１　によって囲まれる部分の面積を求めよ。 

★希望★完全解答★

お便り２００８／１／１２
from=平　昭

  こんばんは。
　これは考え方が二つあります。
一つは地道に計算する方法です。
もう一つは、ほとんど計算不要ですが、
ちょっと知識が必要です。大学生なら知っている知識ではないでしょうか。

　まずは地道なやり方から。
　
２ⅹ^2＋２ⅹｙ＋ｙ^2＝１をy について解くと

y=-x±√（1-x^2）
となり、yが実数として存在するxの範囲は-1≦x≦1

題意の曲線は-1≦x≦1の範囲で
上側の曲線　y=-x+√（1-x^2）　と
下側の曲線　y=-x-√（1-x^2）に囲まれた閉曲線となる。
（グラフを描いてみれば分かる。）

だから求める面積をＳとおけば

Ｓ=∫_-1^1 ｛(-x+√(1-x^2))-(-x-√(1-x^2))｝dx

  =2∫_-1^1(√(1-x^2)dx

 これは積分計算するまでもなく、半径１の半円の面積の２倍。
よって
　Ｓ=π

　次に、計算省略型の解法です。

２ⅹ^2＋２ⅹｙ＋ｙ^2＝１を変形して
x^2+(x+y)^2=1
ここで

f(x)=（1 0)(x)=(X)
 (y)   (1 1)(y)  (Y)

という一次変換を用いて、題意の曲線を変換する。
（どうも行列表示が読みにくいので念のため書くと、
 X=x    Y=x+y   という変換です。）
すると明らかに
 X^2+Y^2=1 で、変換後の図形は単位円である。

　そして、一般に２行２列の行列Ａによる一次変換によって、
変換後の図形の面積は変換前の面積の|detＡ| 倍となる。
ここで、detＡはＡの行列式を意味する。、、、、★

(★を知らないと、この解法が使えません。
知っていれば、題意の曲線の式が、一次変換で円になるのはすぐ分かりますから、
変換してみて後は行列式で割る、というのを思いつくでしょう。）

　そして、fの変換行列の行列式は１だから、変換前後で面積は変わらない。
よって、求める面積をＳとおけば
　Ｓ=π