質問

放物線(x－y)^2－(x＋y)＋1＝0の直交する二接線の交点の軌跡を求めよ。
どうしてもとけません。よろしければご指導お願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００８／４／２７
from=平　昭

　こんにちは。うまい一般論があるのかどうかわかりませんが、グラフを描いてみると、
方針がみえてきました。
　題意の方程式が「放物線」と書いてあるのが大事なヒントです。以下、解答です。

　題意の方程式を(x＋y)＝(x－y)^2＋1　と書き直し、グラフを描いて考える。
　方程式: x-y＝k (kは任意の実数）で表される直線群を考えると、
この式で表される直線はすべて互いに平行である。
　同様に、方程式: x＋y＝k (kは任意の実数）で表される直線群を考えると、
この式で表される直線もすべて互いに平行である。
　そして直線:x＋y＝kと 直線:x-y＝kは直交する。
　そこで、直線群｛kは任意の実数｜直線:x＋y＝k｝
と直線群｛kは任意の実数｜直線:x－y＝k｝は、
直線x－y＝０と直線x＋y＝０を二つの軸として、直交座標系をなすとみなせる。
　さらに、直線:x＋y＝kと直線 x＋y＝k＋１の距離、及び
直線:x-y＝kと　直線 x-y＝k＋１の距離がいずれも√2/1であることを考え合わせれば、 


　式(x＋y)＝(x－y)^2＋1が表す放物線とはつまり、
放物線：ｙ＝x^2＋１を時計回りに45度回転し、全体を√2/1に縮小したものである。
（ここまで細かく言わなくとも、実際にグラフを描けばすぐ分かりますが。(^_^;)）

　だから「放物線Ｃ：ｙ＝x^2＋１の直交する二接線の交点の軌跡」をまず求め、
結果を時計回りに45度回転して√2/1に縮小すれば、求める答えが得られる。

（どうも、こうやって工夫すると計算が楽なようです。）

　さて、Ｃ上の点（a,a^2+1)における接線の方程式は
 y=2ax-a^2+1 である。
ここで、ａ＝０の場合には、接線は直線：y=1で、
これと直交する接線は明らかに存在しない。

　そこで、aが０でない時を考えると、
これと直交する接線は、傾きが-1/2aであるから、

接点は（-1/4a，1+(1/16a^2)）となり、
求める接線の方程式は　
ｙ＝(-1/2a）x-(1/16a^2)+1　である。

ここで、両辺を4a^2倍して
(4a^2)y=-2ax-(1/4)+4a^2
最初の接線の方程式と辺々足せば
(1+4a^2)y=(3/4)+(3a^2)=3/4｛1+4a^2｝が得られる。

以下、計算すれば結局、
２接線の交点は、点（(a/2)-1/8a，3/4）となる。

ここで、f(a)=(a/2)-1/8aと置くと
ｆはａ＞０（とa＜０）で連続であり、
a→+0の時f(a)→負の無限大、ａ→無限大の時f(a)→無限大
であるから、f(a)は任意の実数値をとる。

よって、交点の軌跡は、直線y=3/4　である。

これを時計回りに45度回転し、√2/1に縮小することにより、
求める軌跡は、

　直線：x+y=3/4　である。