質問<3703>2008/4/8
任意の実数x,yに対してf(x+y)=f(x)+f(y)を満たす関数fを 考える。 fが x=0で連続であるなら,任意の実数において連続であることを示せ。 上記の問題のアドバイスを宜しくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2008/4/21
from=平 昭
こんにちは。ええと、連続の定義は分かっていますか? f(x)がx=aで連続であるとは 「x→aの時、f(x)→f(a) であること」でした。 これは「h→0の時f(a+h)→f(a)」、、、、★ とも書けますね。 こちらの方が問題文に出てくる式に近そうなので、 任意のaに対して★が成り立つことを示す方針にします。 以下、解答です。 与えられた条件より、任意のa、hに対して f(a+h)=f(a)+f(h) また、条件「fがx=0で連続である」はつまり h→0の時、f(h)→f(0) を意味する。 よってh→0の時、f(a+h)→f(a)+f(0)である。 ここで、条件「f(x+y)=f(x)+f(y)」に、x=y=0を代入すれば f(0)=2f(0)となり、f(0)=0が分かる。 結局、 任意のaに対し、h→0の時、f(a+h)→f(a)+f(0)=f(a) (証明終)
お便り2008/4/22
from=UnderBird
お便り2008/4/22
from=wakky
ご無沙汰しておりました なかなか参加できない情況が続いております。 f(x+y)=f(x)+f(y)より f(0+0)=f(0)+f(0) f(0)=2f(0)となって f(0)=0 f(x)がx=0で連続だから lim(x→0)f(x)=f(0)=0・・・① この条件のもとで 任意の実数aに対して lim(x→a)f(x)=f(a)となれば良い訳です。 t=x-aとすると x=t+a x→aのときt→0 従って lim(t→0)f(t+a) =lim(t→0){f(t)+f(a)} =lim(t→0)f(t)+lim(t→0)f(a) ①より lim(t→0)f(t)=f(0)=0 また lim(t→0)f(a)=f(a)(※f(a)は定数なので、tの値に影響されない) よって lim(x→a)f(x)=f(a)となり fは任意の実数において連続であることが示されました。