質問<3752>2009/7/4
aは7で割ったときの余りが3になる自然数とする。 (1)a^nを7で割った余りをa_nとするときa_6を求めよ。 (a)Σ_(k=1からn)a_kを7で割った余りをb_nとするとき、b_100を求めよ。 です!お願いします… 初めてなので書き方間違ってたらごめんなさい お願いします! ★希望★完全解答★
お便り2009/7/6
from=wakky
(1) kを負でない整数として a=7k+3とおけます。 a^n=(7k+3)^n 二項定理から a^n=nC0・(7k)^n+nC1・(7k)^(n-1)・3+・・・+nC(n-1)・(7k)・3^(n-1)+3^n 右辺のn+1項のうち第1項から第n項は7の倍数なので a^nを7で割った余りは、3^nを7で割った余りに等しい よって a(6)は3^6=729を7で割った余りだから a(6)=1・・・(答) (2) a(1)=3,a(2)=2,a(3)=6,a(4)=4,a(5)=5,a(6)=1となりますが n=7以降もこれを繰り返します。 Σ(k=1,6)a(k)=21となって7で割り切れるので Σ(k=1,96)a(k)も7で割り切れます。 よって b(100)は3+2+6+4=15を7で割った余りなので b(100)=1・・・(答)
お便り2009/7/7
from=ナスビ
wakkyさん解答ありがとうございます。 あの問題、合同式利用して解けますか??2コ目がうまくイメージわきません…
お便り2009/7/7
from=wakky
高校数学の範囲だと考え 合同式は避けました 合同式を使えば (1) aは7で割って3余るから a≡3(mod 7)から直ちに a^n≡3^n(mod 7) n=6のとき a^6≡3^6=729≡1(mod 7) となりますね。 (2)はどうなんでしょう? 合同式を用いたエレガントな回答は思いつきません。 Σ(1,6)a(k)≡0(mod 7) b(100)=Σ(1,16){Σ(6m-5,6m)a(m)}+・・・ ということでしょうか?
お便り2009/12/18
from=pootan
(1)wakkyさんと同様です。 (2)Σ(k=1からnまで)a_k =a_1+a_2+a_3+・・・+a_n ここでa^n≡3^n (mod 7)より ≡3+3^2+3^3+・・・+3^n(mod 7) ∴b_n=3/2(3^n-1) ここで 3^100-1≡2^50-1 (mod 7) ≡2^5-1 (mod 7) ≡10 (mod 7) ∴b_100≡3/2(10) (mod 7) ≡15 (mod 7) ≡1 いかがでしょうか。