質問＜３７５２＞２００９／７／４
from=ナスビ
「数列」

aは7で割ったときの余りが3になる自然数とする。
(1)a^nを7で割った余りをa_nとするときa_6を求めよ。
(a)Σ_(k=1からn)a_kを7で割った余りをb_nとするとき、b_100を求めよ。
です！お願いします…
初めてなので書き方間違ってたらごめんなさい
お願いします！

★希望★完全解答★

お便り２００９／７／６
from=wakky

(1)
kを負でない整数として
a=7k+3とおけます。
a^n=(7k+3)^n
二項定理から
a^n=nC0・(7k)^n+nC1・(7k)^(n-1)・3+・・・+nC(n-1)・(7k)・3^(n-1)+3^n
右辺のn+1項のうち第1項から第n項は7の倍数なので
a^nを7で割った余りは、3^nを7で割った余りに等しい
よって
a(6)は3^6=729を7で割った余りだから
a(6)=1・・・（答）

（２）
a(1)=3,a(2)=2,a(3)=6,a(4)=4,a(5)=5,a(6)=1となりますが
n=7以降もこれを繰り返します。
Σ(k=1,6)a(k)=21となって７で割り切れるので
Σ(k=1,96)a(k)も７で割り切れます。
よって
b(100)は3+2+6+4=15を７で割った余りなので
b(100)=1・・・（答）

お便り２００９／７／７
from=ナスビ

wakkyさん解答ありがとうございます。
あの問題、合同式利用して解けますか??2コ目がうまくイメージわきません…

お便り２００９／７／７
from=wakky

高校数学の範囲だと考え
合同式は避けました
合同式を使えば
（１）
aは7で割って3余るから
a≡３(mod 7)から直ちに
a^n≡３^n(mod 7)
n=6のとき
a^6≡3^6=729≡1(mod 7)
となりますね。

（２）はどうなんでしょう？
合同式を用いたエレガントな回答は思いつきません。
Σ(1,6)a(k)≡0(mod 7)
b(100)=Σ(1,16){Σ(6m-5,6m)a(m)}＋・・・
ということでしょうか？

お便り２００９／１２／１８
from=pootan

(1)wakkyさんと同様です。

(2)Σ(k=1からnまで)a_k
  =a_1+a_2+a_3+・・・+a_n

ここでa^n≡3^n (mod 7)より
　　　　 ≡3+3^2+3^3+・・・+3^n（mod 7）
  ∴b_n=3/2(3^n-1)

ここで

3^100-1≡2^50-1 (mod 7)
　　　　 ≡2^5-1  (mod 7)
　　　　 ≡10     (mod 7)

∴b_100≡3/2(10) (mod 7)
　　　　　≡15　　　(mod 7)
　　　　　≡1

いかがでしょうか。