質問＜３８０４＞２０１０／１１／１
from=JK
「実数解」

任意の実数aに対して、x^3-2x-a(x^2-1)=0は3つの実数解をもつことを示せという問題があるのですが、わからないので教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２０１０／１１／８
from=平　昭

　こんばんは。３次関数＝０、という方程式が３つの実解を持つ、というのをイメージと
してどう捕らえるかですね。

　グラフを考えると（この場合は３次の係数＞０ですから）、値が遠い左下（負の無限大）
からずーっと増えてきて、０を超えたところで減り始め、１回は０より小さくなってから、
また増え出して正の無限大へ、という形になれば実解３つになります。

　つまり、３次関数の値が「負→正→負→正」と変化すれば〇Ｋ。これを数式でどう表現す
るか、と考えると、次のような回答が浮かびました。
　（なおこういう時は、定数ａの値に関係なく言えることはないか、と考えるのがコツの一
つです。具体的に解をａで表そう、などと考え出すと大変ですが、問題はそんな要求をして
いません。）

　f(x)= x^3-2x-a(x^2-1)とおく。

　f(-1)=１＞０、f(１)=-1＜０　
　（１と－１は、ａでくくられたカッコの中が０になる値として選びました。これで、上で
説明した変化のまん中の部分「正→負」ができたわけです。）

　一方、ｆ(x)は３次の係数が正の３次関数であるから、
　十分に大きな正の数Ｋ＞１を一つ選んで、
　f(-Ｋ)＜０、f(Ｋ)＞０　となるようにできる。
　書き直すと
　－Ｋ＜－１＜１＜Ｋ
　　f(-Ｋ)＜０、f(-1)=１＞０、f(１)=-1＜０、f(Ｋ)＞０
　である。
　ここで、ｆ(x)は連続関数であるから、中間値の定理（★これがこの回答のポイントです）
より

　方程式　f(x)= ０は　開区間（－Ｋ、－１）、（－１、１）、（１、Ｋ）のそれぞれに、
少なくとも一つずつの実解を持つ。

　つまり、実解の数は３個以上となる。一方、３次方程式が４つ以上の解を持つことはない。
　よって、この方程式は３個の実解を持つ。