質問<3838>2012/12/27
xy平面上で3つの点がそれぞれx軸上の点A(1,0),B(-2,0),C(c,0)から 同時にそれぞれの速さ1,2,3で直線運動を開始し、ある時刻後1点で会した cはどんな値の範囲か? 先生の解答を聞いてもわかりませんでした 教えてください ★希望★完全解答★
お便り2013/1/8
from=平 昭
こんにちは。ちょっと問題文があいまいですね。この文章では、直線運動を開始した後、 それぞれの点の速度はどう変化したのか、が書かれていません。ですから「cは任意の値を 取り得る」が正解になります。 (3点が運動開始後の適当な時点で、いずれ会合する地点につけるように運動の向きや速 さを変えれば、cの値がいくつでも、会合地点がどこでも、関係なく達成できることは明ら か。) 出題者がこんな解答を期待しているとは思えませんが、この問題文を書いてしまったら、 この解答に満点を与えるしかありません。テストにこの問題が出たら、この解答で十分。 考える時間は他の問題に使いましょう。 さて問題の意図を「3点は直線運動を開始した後、『ずっと同じ速さで直線運動を続け』、 3点とも『同時に』定点Pに達した」と解釈すれば、cの範囲は限定されます。多分、こう いう意図なのでしょう。 この場合、運動開始から3点がPに達するまでの経過時間をtとすれば、それぞれの点の 速さが1、2、3ですから AP=t BP=2t CP=3t となります。ここで、AP、BP、CPはそれぞれ、線分AP、線分BP、線分CPの長さ を表すことにします。 (問題を解くときは、こうやって問題文の条件を数式で表すのが大切です。式にすると、 条件がいろいろ変形できて、解答につながりやすくなります。) ですから BP=2AP、、、、、① CP=3AP、、、、、② です。 ここで、Pの座標をP(x,y)と置くと、 ①より (x+2)^2+y^2=4{(x-1)^2+y^2} で、整理すると (x-2)^2+y^2=4、、、、③ が得られます。Pは、③が表す円の上にあるわけです。 また、②より (c-x)^2+y^2=9{(x-1)^2+y^2}、、④ が得られます。 さて③より、y^2=4-(x-2)^2であり、 これを④に代入して、cについて解くと c=x±√{(x+7)^2-40}、、、、⑤ となります。 xの存在範囲は③より、0≦x≦4ですから、 この範囲でcの値の範囲を考えればよいわけです。 ここで x+√{(x+7)^2-40}は上記の範囲で単調増加なのは明らかで 3≦x+√{(x+7)^2-40}≦13 x-√{(x+7)^2-40}は、微分すると上記の範囲で単調減少とわかり -5≦x-√{(x+7)^2-40}≦-3 結局、求めるcの値の存在範囲は -5≦c≦-3 または 3≦c≦13 となります。