質問＜３８９＞２００１／１／７
from=ぷりん
「命題」

こんにちわ。ぷりんです。
基本ちゅうの基本のことで申し訳ありませんが教えて下さい。

（命題）　χ≠１　⇒　ａχ≠ａ　【偽】
　　この命題の反例は何ですか？

お返事２００１／１／８
from=武田

定理や命題とは、真偽を問いえる文章を指す。例えば、
「ｘは偶数」とか、「ｘは素数」とかである。
ｘが９だと、両方とも偽となります。
ｘが２だと、両方とも真となります。
したがって、真偽のどちらかにするために、
存在記号の∃（ある特定の……）や全称記号∀（すべての……）
をつけてｘを表すわけである。このときのｘを束縛変数という。
（この∃や∀がつかないｘを自由変数という）

ご質問の命題「χ≠１　⇒　ａχ≠ａ」は偽となります。
書いてはいないけど、∀ａのときと言う前提が偽をもたらす。
何となれば、「ａ＝０のとき、ａｘ＝ａ」となるからである。
（これを反例という）

真となる命題は、上の命題の裏か逆のときである。
命題────逆
　｜＼　　　｜
　｜　＼　　｜
　｜　　＼　｜
　｜　　　＼｜
　裏────対偶
例えば、逆の命題は「ａχ≠ａ　⇒　χ≠１」である。この前提はａ≠０より、
この逆の命題は真となる。