質問＜４０＞９８／９／１
from=おしお
「三角関数」

こんな単純なことで申し訳ないのですがsin40,cos40の出し方を
教えてください

お返事９８／９／２
from=武田

斜辺が１のときの高さＡＢがｓｉｎ４０°、底辺ＯＢがｃｏｓ４０°
にあたります。物差しで測定してもいいですが、正確さをだすため
に教科書の巻末の三角比の表か、関数電卓を使って求めます。
簡単で素晴らしいのは関数電卓でしょう。
ｓｉｎ４０°＝0.6427876097

質問の主旨は手書きの計算ですよね。
３倍角の公式　ｓｉｎ３θ＝３ｓｉｎθ－４ｓｉｎ3θ
を使って、θ＝４０°とすると、
ｓｉｎ３θ＝ｓｉｎ３×４０°＝ｓｉｎ１２０°＝√３/２より、
ｓｉｎθの３次方程式ができ、
４ｓｉｎ3θ－３ｓｉｎθ＋√３/２＝０となる。
ｓｉｎθ＝ｘとおいて、ｘの３次方程式を解く。
４ｘ3－３ｘ＋√３/２＝０
詳しくは、質問＜３１＞の３次方程式の解法を見てください。
ここでは概略で解きますと、
ｘ3＋ｍｘ＋ｎ＝０のとき、ｍ＝-3/4、ｎ＝√3/8として
Ａ＝（－ｎ／２）＋√｛（ｎ／２）2＋（ｍ／３）3｝
　＝（-√3+i）/16
Ｂ＝（－ｎ／２）－√｛（ｎ／２）2＋（ｍ／３）3｝
　＝（-√3-i）/16
より、求まる３つの解のうち実数となるものが解である。
（ｓｉｎ４０°＞０より）
ｘ＝ｓｉｎ４０°
　＝（ 3√Ａ）×１＋（ 3√Ｂ）×１
　＝1/2（cos50°＋ｉsin50°）＋1/2（cos50°－ｉsin50°）
　＝cos50°
となるので、この計算は
ｓｉｎ（９０°－θ）＝ｃｏｓθ
を求めたのに過ぎませんでした。
ゴメンナサイ。

手書きでｓｉｎ４０°を求めるにはテーラー展開の無限級数を使う
ようです。弧度法で書き直して、４０°＝2π/9より
sinｘ＝ｘ－ｘ3/３！＋ｘ5/５！－……
に、ｘ＝2π/9を代入します。これを計算していけばより細かい
値が出るようです。