質問＜４００＞２００１／１／２９
実数には有理数と無理数があります。この両者があってはじめて数直 線上のすべての点が表現されます。逆にいうと有理数だけでは数直線上 の点は飛び飛びになります。そこで、次のようなことを考えました。 任意の有理数aと、その「次」の数ｂ（a＜ｂで、その間に有理数は存 在しない）をとる。すると(a+b)/2はa＜(a+b)/2＜ｂを満たし、ｂがaの 「次」であることに矛盾する。 すなわち、どんな2有理数の間にも有理数が存在し、その結果有理数は連 続な点となり、有理数＝実数となるのではないか？ ということです。もちろん、(a+b)/2のほかにもa、ｂが正ならその相 乗平均などaとｂの間に存在しうる数は無数に考えられます。また、無 理数では同様のことはいえません。 無理数同士の４則演算の結果が無理数になるとは限らないからです。 数学ではありませんが、似たような有名な話があります。的に向かっ てボールを投げるとまずボールは投げたところと的の中間地点に達し、 その後、その中間地点と的との中間地点に達します。このことを繰り返 してもボールは今あるところと、的との中間地点がいくらでもあるのだ から的に近づきはするものの永遠に的には届かない、というものです。 でも実際はすぐにボールは的に届いてしまいます。一方、有理数がどん なに、その中間値があったとしても数直線は埋まりません。この違いは 何なのでしょうか。 よろしくお願い致します。
お返事２００１／１／３１
from=武田
問１ 「有理数＝実数となるのではないか？」ですが、これは濃度を考えると、 異なることが分かります。濃度とは、数え上げることのできない無限集 合の個数のことを指します。 自然数の濃度のことを「アレフ・ゼロ」と言い、その集合を可算集合 （可附番集合）といいます。可算集合は、簡単に言うと、自然数と１対 １対応で表せることを指します。 有理数の濃度が「アレフ・ゼロ」となることの証明は下のようになりま す。 ---------------------------------------------------------- 有理数を既約分数で表し、ｐ／ｑと表すと、それを対（ｐ，ｑ）として 表し、次のように並べると、 （１，１）（２，１）（３，１）（４，１） ……… ① ② ⑥ ⑦ （１，２）（２，２）（３，２） ……… ③ ⑤ ⑧ （１，３）（２，３） ……… ④ ⑨ （１，４） ……… ⑩ ……… すべての有理数が、可附番で表現できるので、自然数に１対１に対応す ることになり、有理数は、可算集合となり、濃度は「アレフ・ゼロ」と なるわけです。 ---------------------------------------------------------- 次に、実数が非可算集合（濃度を単に「アレフ」と言う）となることの 証明は、カントールの対角線論法で言うことが出来ます。 ---------------------------------------------------------- （２ｘ－１）π 実数の集合ＲとＲ（０，１）は、写像「ｙ＝ｔａｎ─────── 」 ２ によって、１対１対応となるので、実数Ｒについて考えることは、 Ｒ（０，１）において考えることと同じになる。 そこで、Ｒ（０，１）と自然数Ｎが１対１対応にならないことを証明 する。 まず前提として、Ｒ（０，１）の実数は、すべて無限小数で表すことに する。例えば、０．２４ならば、０．２３９９９９……とする。 初めに、Ｒ（０，１）を可算集合と仮定する。 ｆ（１）＝０．a(11)a(12)a(13)…… ｆ（２）＝０．a(21)a(22)a(23)…… ｆ（３）＝０．a(31)a(32)a(33)…… ……………… ｆ（ｎ）＝０．a(n1)a(n2)a(n3)…… ……………… このようにＲ（０，１）に属する無限小数が可附番で、自然数と１対１ 対応できるものとする。 今、０．a(11)a(22)a(33)……と対角線上の数を取っていき、 ｍ(1)≠a(11)，ｍ(2)≠a(22)……となるように数を取り、次のようにα を作ると、 α＝０．ｍ(1)ｍ(2)ｍ(3)…… は、α∈Ｒ（０，１）となるが、上の可附番のｆ（ｋ）とは異なるもの になるから、仮定に反することになる。 したがって、Ｒ（０，１）は非可算集合。 そして、実数も非可算集合。 ---------------------------------------------------------- 結論として、有理数の濃度と実数の濃度は異なる。……（答） ※「有理数＝実数」ではない。無理数が間にたくさん挟まっている わけである。 問２ 無理数（＋）有理数＝実数 無理数（＋）有理数＝無理数 したがって、 無理数の濃度は、実数の濃度と同じ「アレフ」である。 問３ ゼノンのパラドックスである「アキレスと亀」「矢」「二分法」などが 同じ問題である。 中間を数えていくのが可附番無限集合的考えだから、いつまでたっても 的に行き着かないが、ボールが通過する直線を実数（非可算無限集合） 的考えでとらえると、連続的にボールが通過し、最終的に的に到達する ことになる。 ※今回の質問は大変勉強になりました。しかし、私自身理解が不十分な ところもありますので、カントールの対角線論法や濃度など調べてみて ください。（調べる中で、「集合論」と異なる「区体論」なるものがあ ることが初めて分かりました！！感謝！！）