質問<407>2001/2/12
宿題なのですが、数列ってさっぱりわかりません(爆) 問1 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。 1の2乗×2の2乗 分の3 2の2乗×3の2乗 分の5 3の2乗×4の2乗 分の7 4の2乗×5の2乗 分の9 …… 問2 数列{an}が a1+2a2+3a3+……+nan=n(1+n)を満たす時、 和a1+a2+a3+……an を求めよ。 問3 自然数の列を次のような群に分ける。 (1)(2,3)(4,5,6,7)(8,9,10,11,12,13,14,15)…… ①第n群の最初の数を求めよ ②500は第何群の第何項か ③第n群に入る数の和を求めよ 数列って難しいですね。さっぱり解りません(汗汗)
お返事2001/2/12
from=武田
問1 3 5 7 9 ────+────+────+────+…… 12 ×22 22 ×32 32 ×42 42 ×52 n 2k+1 =Σ ───────── k=1 k2 (k+1)2 n 1 1 =Σ {───-──── } k=1 k2 (k+1)2 1 1 1 1 1 1 1 1 =(─-─)+(─-─)+(─-──)+……+(──-──────) 1 4 4 9 9 16 n2 (n+1)2 1 =1-────── (n+1)2 (n+1)2 -1 n2 +2n n(n+2) =────────=───────=─────── ……(答) (n+1)2 (n+1)2 (n+1)2 問2 a1+2・a2+3・a3+……+n・an=n(1+n)=Sn とおく。 Sn-Sn-1 ={a1+2・a2+3・a3+……+(n-1)・an-1+n・an} -{a1+2・a2+3・a3+……+(n-1)・an-1} =n・an =n(1+n)-(n-1)n=n+n2 -n2 +n =2n したがって、an=2 a1+a2+a3+……+an=2+2+2+……+2=2n ……(答) 問3 ① |1|2,3|4,5,6,7|8,9,10,11,12,13,14,15|…… 群 1 2 3 4 個 1 2 4 8 群の中の最初の数は、その群の個数と一致するので、 第n群の最初の数は、2n-1……(答) ② 指数不等式2n-1≦500を解くと、 (n-1)log2≦log500=log1000/2 =3-log2 3-log2 n-1≦────────=8.9…… log2 したがって、 n≦9.9…… nは自然数だから ∴n=9 29-1=28 =256 第9群の最初の数が256だから、 500-256+1=245 ∴第9群第245項……(答) ③ 第n群の数の和は S=2n-1+(2n-1+1)+(2n-1+2)+……+(2n-1+2n-1-1) 等差数列の和の公式 (初項+末項)×項数 S=────────── 2 より、 {2n-1+(2n-1+2n-1-1)}2n-1 S=───────────────── 2 (3・2n-1-1)2n-1 =──────────── ……(答) 2