質問<411>2001/2/27
お返事2001/2/28
from=武田
問1 曲線の長さを求める公式より、 1 dy ∫√{1+(──)2 }dx 0 dx 1 1 =∫√{1+─(ex-e-x)2 }dx 0 4 1 1 =∫ ─(ex+e-x)dx 0 2 1 1 =─[ex-e-x] 2 0 1 1 =─(e-─)……(答) 2 e 問2 曲線の長さを求める公式より、 2π dx dy ∫ √{(──)2 +(──)2 }dt 0 dt dt 2π =∫ √{e-2t(sint+cost)2 +e-2t(sint-cost)2 }dt 0 2π =∫ √2・e-tdt 0 2π =√2・[-e-t] 0 =√2・(1-e-2π)……(答) 問3 広義の積分より ∞ dx ∫ ─────── 1 x(x2 +1) b 1 x =lim ∫(─-────)dx b→∞ 1 x x2 +1 1 b =lim [log|x|-──log|x2 +1|] b→∞ 2 1 =lim {log|b|-log√(b2 +1)+log√2} b→∞ √2・|b| =lim log──────── b→∞ √(b2 +1) √2 =lim log──────── b→∞ 1 √(1+── ) b2 =log√2……(答) 問4 複雑な置換積分を使います。 x tan──=uとおくと、 2 x x x cosx=cos2・─=cos2 ──-sin2 ─ 2 2 2 x x cos2 ──-sin2 ─ 2 2 ───────── x x cos2 ── 1-tan2 ─ 2 2 1-u2 =───────────=───────=──── 1 x 1+u2 ───────── 1+tan2 ── x 2 cos2 ── 2 1-u2 3+u2 2+cosx=2+─────=───── 1+u2 1+u2 微分して、 1 dx ─・─────=du 2 x cos2 ── 2 x 2du dx=2cos2 ──du=──────── 2 x 1+tan2 ── 2 2du =──── 1+u2 xの範囲も置換して、 x|0─→π/2 ──────── u|0─→1 したがって、問題式を置換して、 1 1+u2 2 ∫ ────・────du 0 3+u2 1+u2 1 2 =∫ ────du 0 3+u2 またまた置換積分をします。 u=√3・tanθとおくと、 dθ du=√3・──── cos2 θ u|0─→1 ──────── θ|0─→π/6 したがって、 π/6 2 √3 ∫ ───────・──── dθ 0 3+3tan2 θ cos2 θ 2√3 π/6 2√3 π/6 =───・∫ dθ=───・[θ] 3 0 3 0 2√3 π √3 =───・─=──π……(答) 3 6 9 問5 部分積分を使う。 1 ∫ x・tan-1xdx 0 x2 1 1 x2 1 =[──・tan-1x] -∫ ──・─────dx 2 0 0 2 1+x2 ^^^^^^^^ ========================= 1 tan-1xを微分すると、────となることを示すと、 1+x2 θ=tan-1xより、 x=tanθ dx 1 cos2 θ+sin2 θ ──=────=────────=1+tan2 θ=1+x2 dθ cos2 θ cos2 θ 逆にして、 dθ 1 ──=──── dx 1+x2 したがって、 d 1 ──tan-1x=───── dx 1+x2 ========================= 1 π 1 1 x2 与式=─・─-─・∫ ────dx 2 4 2 0 1+x2 π 1 1 1 =─-─・∫(1-────)dx 8 2 0 1+x2 π 1 1 1 1 1 =─-─・[x]+─・∫ ────dx 8 2 0 2 0 1+x2 π 1 1 1 =─-─・1+─・[tan-1x] 8 2 2 0 π 1 1 π =─-─+─・─ 8 2 2 4 π 1 =─-─ ……(答) 4 2 ※ちょっと大変でした。質問は3題ぐらいだと楽なのですが(^_^)¥