質問＜４１１＞２００１／２／２７
お返事２００１／２／２８
from=武田
問１ 曲線の長さを求める公式より、 １ ｄｙ ∫√｛１＋（──）2 ｝ｄｘ ０ ｄｘ １ １ ＝∫√｛１＋─（ｅx－ｅ-x）2 ｝ｄｘ ０ ４ １ １ ＝∫ ─（ｅx＋ｅ-x）ｄｘ ０ ２ １ １ ＝─［ｅx－ｅ-x］ ２ ０ １ １ ＝─（ｅ－─）……（答） ２ ｅ 問２ 曲線の長さを求める公式より、 ２π ｄｘ ｄｙ ∫ √｛（──）2 ＋（──）2 ｝ｄｔ ０ ｄｔ ｄｔ ２π ＝∫ √｛ｅ-2t（sinｔ＋cosｔ）2 ＋ｅ-2t（sinｔ－cosｔ）2 ｝ｄｔ ０ ２π ＝∫ √２・ｅ-tｄｔ ０ ２π ＝√２・［－ｅ-t］ ０ ＝√２・（１－ｅ-2π）……（答） 問３ 広義の積分より ∞ ｄｘ ∫ ─────── １ ｘ（ｘ2 ＋１） ｂ １ ｘ ＝ｌｉｍ ∫（─－────）ｄｘ ｂ→∞ １ ｘ ｘ2 ＋１ １ ｂ ＝ｌｉｍ ［log｜ｘ｜－──log｜ｘ2 ＋１｜］ ｂ→∞ ２ １ ＝ｌｉｍ ｛log｜ｂ｜－log√（ｂ2 ＋１）＋log√２｝ ｂ→∞ √２・｜ｂ｜ ＝ｌｉｍ log──────── ｂ→∞ √（ｂ2 ＋１） √２ ＝ｌｉｍ log──────── ｂ→∞ １ √（１＋── ） ｂ2 ＝log√２……（答） 問４ 複雑な置換積分を使います。 ｘ tan──＝ｕとおくと、 ２ ｘ ｘ ｘ cosｘ＝cos２・─＝cos2 ──－sin2 ─ ２ ２ ２ ｘ ｘ cos2 ──－sin2 ─ ２ ２ ───────── ｘ ｘ cos2 ── １－tan2 ─ ２ ２ １－ｕ2 ＝───────────＝───────＝──── １ ｘ １＋ｕ2 ───────── １＋tan2 ── ｘ ２ cos2 ── ２ １－ｕ2 ３＋ｕ2 ２＋cosｘ＝２＋─────＝───── １＋ｕ2 １＋ｕ2 微分して、 １ ｄｘ ─・─────＝ｄｕ ２ ｘ cos2 ── ２ ｘ ２ｄｕ ｄｘ＝２cos2 ──ｄｕ＝──────── ２ ｘ １＋tan2 ── ２ ２ｄｕ ＝──── １＋ｕ2 ｘの範囲も置換して、 ｘ｜０─→π／２ ──────── ｕ｜０─→１ したがって、問題式を置換して、 １ １＋ｕ2 ２ ∫ ────・────ｄｕ ０ ３＋ｕ2 １＋ｕ2 １ ２ ＝∫ ────ｄｕ ０ ３＋ｕ2 またまた置換積分をします。 ｕ＝√３・tanθとおくと、 ｄθ ｄｕ＝√３・──── cos2 θ ｕ｜０─→１ ──────── θ｜０─→π／６ したがって、 π/6 ２ √３ ∫ ───────・──── ｄθ ０ ３＋３tan2 θ cos2 θ ２√３ π/6 ２√３ π/6 ＝───・∫ ｄθ＝───・［θ］ ３ ０ ３ ０ ２√３ π √３ ＝───・─＝──π……（答） ３ ６ ９ 問５ 部分積分を使う。 １ ∫ ｘ・tan-1ｘｄｘ ０ ｘ2 １ １ ｘ2 １ ＝［──・tan-1ｘ］ －∫ ──・─────ｄｘ ２ ０ ０ ２ １＋ｘ2 ^^^^^^^^ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ １ tan-1ｘを微分すると、────となることを示すと、 １＋ｘ2 θ＝tan-1ｘより、 ｘ＝tanθ ｄｘ １ cos2 θ＋sin2 θ ──＝────＝────────＝１＋tan2 θ＝１＋ｘ2 ｄθ cos2 θ cos2 θ 逆にして、 ｄθ １ ──＝──── ｄｘ １＋ｘ2 したがって、 ｄ １ ──tan-1ｘ＝───── ｄｘ １＋ｘ2 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ １ π １ １ ｘ2 与式＝─・─－─・∫ ────ｄｘ ２ ４ ２ ０ １＋ｘ2 π １ １ １ ＝─－─・∫（１－────）ｄｘ ８ ２ ０ １＋ｘ2 π １ １ １ １ １ ＝─－─・［ｘ］＋─・∫ ────ｄｘ ８ ２ ０ ２ ０ １＋ｘ2 π １ １ １ ＝─－─・１＋─・［tan-1ｘ］ ８ ２ ２ ０ π １ １ π ＝─－─＋─・─ ８ ２ ２ ４ π １ ＝─－─ ……（答） ４ ２ ※ちょっと大変でした。質問は３題ぐらいだと楽なのですが(^_^)￥
