質問<412>2001/2/28
問1 集合列{A(n)}に対して、次の定義関数の等式を示すのですが、 ___ ___ (1)limX(x,A(n))=X(x,limA(n)) (n→∞) 左辺=1と0の場合に分けるのでしょうが、どうやってもうまく行きません。 できれば、詳しく教えてください。申し訳ありません。 問2 区間[0、1]上の関数f(x)=√xに対して、ほとんどいたるところで f(x)に単調増加に各点収束する可測単関数列{Fn(x)}を求めよ。 という問題なのですが、私の解答は次の通りです。 [0、1]=Eとする。 Fn(x)=2のn乗分のk-1(分かりにくてすいません) このように置くと、Fn(x)は単調増加で fが可測なことからE(Fn=2のn乗分のK-1)∈Β・・・Ⅰ よってFnは可測である。・・・Ⅱ この解答において、ⅠとⅡの間に説明が足りないと言われました。 何が足りないのでしょうか?教えてください。
お返事2001/2/28
from=武田
大学の数学なので、ちょっと分かりません。 誰かアドバイス下さい。 ※未解決問題に移したところ、星野さんからアドバイスをいただきました。 感謝!!
お便り2001/9/8
from=星野敏司
これは手持ちの Paul Halmos: Measure Theory p.19 の (11) に証明抜きで言及されており, 伊藤清三: ルベーグ積分入門 p. 11 には「... なることは容易に験証される。」 と出ているものですね。 きっと簡単なんでしょう (笑)。 χ(x, A(n)) は 0 と 1 しか取りませんから各々調べましょう。 lim sup χ(x, A(n)) = 1 と仮定すると, それは無限部分列 {ν_n} で χ(x, A(ν_n)) = 1 なるものがあることを意味します。 即ち x ∈A(ν_n) ですね。 {ν_n} は無限列ですから当然幾らでも大きい数があります。 右辺の lim sup A(n) = ∩_(n=1)^∞∪_(i=n)^∞ A(i) です。 上に述べたことから幾らでも大きい i で x ∈A(i) となるものがあります。即ち n によらず x ∈∪_(i=n)^∞ A(i) が成立します。ですから x ∈ lim sup A(n) = ∩_(n=1)^∞∪_(i=n)^∞ A(i). 即ち χ(x, lim sup A(n)) = 1. 次に lim sup χ(x, A(n)) = 0 と仮定すると, これはある番号 N 以上 χ(x, A(n)) = 0 と同じことで, つまり n ≧ N⇒¬x ∈A(n) (x は A(n) の要素ではない) ということを意味しています。 すると n ≧ N ⇒¬x ∈∪_(i=n)^∞ A(i) なのですから当然 ¬x ∈lim sup A(n) = ∩_(n=1)^∞∪_(i=n)^∞ A(i). 即ち χ(x, lim sup A(n)) = 0 となるわけです。