質問＜４２４＞２００１／３／１９
問題 y=kx+1/x （x＞0、K＞0）で表す 曲線をCとして Cの接線が直線x＝0、 y＝kxと交わる点を各々P、Q とする。 （１） PQが最小になるときのOP OQを求めよ 解答 Cの接点をR（b、kb+1/b）とするとき 接線の方程式は y-（kb+1/b）＝（k-1/b＾2）（x-b）となる「 そうするとP（0、2/b） Q（2b、2kb）となり PQ＾2＝4b＾2（k＾2+1）+4/b＾2 である 相加相乗平均をつかって PQ＾2≧8√（K＾2+1） 最小と成る時の bは b＾2（k＾2+1）=1/b＾2 をみたす 解 b＝1/（k＾2+1）＾1/4 である この時OP＝2（k＾2+1）＾1/4 、OQ=2（k＾2+1）＾1/4である -------------------------------------------------------------------- さてここからが質問です ここまでなんら問題はないと考えられますが、最後の答えの中に文字Kが 入ったままですよね。 なぜ この式の中のさらに最小値を 求めようと はしてないのでしょうか？ OP＝ 2（k＾2+1）＾1/4 なら当然 K＝0 の時 最小になるはずです。 もちろん今K＞0という条件がはいっており K＝0などとれませんが （しかも K＝0のときはP Qが存在しなくなってしまい おかしいですが） そういう矛盾点をのぞいたとして（つまりK＝0 もとれるとした時） 答えを OP=2 とするのでしょうか？それともしないのでしょうか？ つまり どこまでを変数とみなし どこまでを定数とみなすか その基準がほしいのです 答えの中に文字が存在した時 その文字式の中で さらに最小をもとめ るべきなのか それとも 文字をのこしたままの式を最終的な 答えとするのか その基 準を教えて下さい よろしくお願いいたします
お返事２００１／３／２３
from=武田
１ Cの接点をR（b、kb+─）とするとき ｂ 接線の方程式は １ １ ｙ－（kb＋─）＝（k－───）（x-b）となる ｂ ｂ2 ２ そうするとP（0、─） Q（2b、2kb）となり ｂ ２ ＰＱ2 ＝４ｂ2 ＋（２ｋｂ－─）2 ｂ ４ ＝４ｂ2 ＋４ｋ2 ｂ2 －８ｋ＋── ｂ2 ＰＱが最小になるのは、ＰＱ2 が最小になるときだから、 変化する接点Ｒのｘ座標のｂで微分すると、 ｄ ８ ──ＰＱ2 ＝８ｂ＋８ｋ2 ｂ－── ｄｂ ｂ3 ｄ ──ＰＱ2 ＝０となるｂのときに最小となるから、 ｄｂ ８ ８ｂ（１＋ｋ2 ）－──＝０ ｂ3 ８ｂ4 （１＋ｋ2 ）－８＝０ １ ｂ4 ＝──── １＋ｋ2 １ 解 ｂ＝─────── （k2 ＋１）1/4 である この時OP＝２（k2 ＋１）1/4 、OQ=２（k2 ＋１）1/4である １ ※文字ｋについては、初めにｙ＝ｋｘ＋─というようにグラフの式が ｘ 与えられているので、定数と見ると良い。 一方、文字ｂは、接点Ｒのｘ座標として置いたので、これは変動して、 ＰＱが最小の所を探すわけだから、変数と見て良い。したがって、ｂに ついて微分できるわけである。ｂについて最小の場所を答えればよい。 ｋは定数扱いなので、答えにｋが入ってもかまわない。 大概こういう問題の時は、２問目にｋを定める問題が出てくるものである。