質問<424>2001/3/19
問題 y=kx+1/x (x>0、K>0)で表す 曲線をCとして Cの接線が直線x=0、 y=kxと交わる点を各々P、Q とする。 (1) PQが最小になるときのOP OQを求めよ 解答 Cの接点をR(b、kb+1/b)とするとき 接線の方程式は y-(kb+1/b)=(k-1/b^2)(x-b)となる「 そうするとP(0、2/b) Q(2b、2kb)となり PQ^2=4b^2(k^2+1)+4/b^2 である 相加相乗平均をつかって PQ^2≧8√(K^2+1) 最小と成る時の bは b^2(k^2+1)=1/b^2 をみたす 解 b=1/(k^2+1)^1/4 である この時OP=2(k^2+1)^1/4 、OQ=2(k^2+1)^1/4である -------------------------------------------------------------------- さてここからが質問です ここまでなんら問題はないと考えられますが、最後の答えの中に文字Kが 入ったままですよね。 なぜ この式の中のさらに最小値を 求めようと はしてないのでしょうか? OP= 2(k^2+1)^1/4 なら当然 K=0 の時 最小になるはずです。 もちろん今K>0という条件がはいっており K=0などとれませんが (しかも K=0のときはP Qが存在しなくなってしまい おかしいですが) そういう矛盾点をのぞいたとして(つまりK=0 もとれるとした時) 答えを OP=2 とするのでしょうか?それともしないのでしょうか? つまり どこまでを変数とみなし どこまでを定数とみなすか その基準がほしいのです 答えの中に文字が存在した時 その文字式の中で さらに最小をもとめ るべきなのか それとも 文字をのこしたままの式を最終的な 答えとするのか その基 準を教えて下さい よろしくお願いいたします
お返事2001/3/23
from=武田
1 Cの接点をR(b、kb+─)とするとき b 接線の方程式は 1 1 y-(kb+─)=(k-───)(x-b)となる b b2 2 そうするとP(0、─) Q(2b、2kb)となり b 2 PQ2 =4b2 +(2kb-─)2 b 4 =4b2 +4k2 b2 -8k+── b2 PQが最小になるのは、PQ2 が最小になるときだから、 変化する接点Rのx座標のbで微分すると、 d 8 ──PQ2 =8b+8k2 b-── db b3 d ──PQ2 =0となるbのときに最小となるから、 db 8 8b(1+k2 )-──=0 b3 8b4 (1+k2 )-8=0 1 b4 =──── 1+k2 1 解 b=─────── (k2 +1)1/4 である この時OP=2(k2 +1)1/4 、OQ=2(k2 +1)1/4である 1 ※文字kについては、初めにy=kx+─というようにグラフの式が x 与えられているので、定数と見ると良い。 一方、文字bは、接点Rのx座標として置いたので、これは変動して、 PQが最小の所を探すわけだから、変数と見て良い。したがって、bに ついて微分できるわけである。bについて最小の場所を答えればよい。 kは定数扱いなので、答えにkが入ってもかまわない。 大概こういう問題の時は、2問目にkを定める問題が出てくるものである。