質問<425>2001/3/20
先日はおこたえいただきありがとうございました よくわかったのでうれしいです 今日は積分について質問したいです x ∫(tank)^2dk = 1-x …(L) をみたす xを求めよ 0 ↑(たんじぇんとK)の2乗 という問題において f(K)=(tank)^2 とみて ∫f(K)dk=F(K) ←原始関数 を考えて (L)の両辺をxについて微分すると (tank)^2=-1 となってしまい明らかに 不合理です なにがおかしいのでしょうか? (L)は任意のxについて成立する等式でないので (つまり解が限定される式なので) 原始関数を考えて微分する という方法はつかえないということなんでしょうか? よろしくお願いします
お返事2001/3/21~23
from=武田
x ∫(tanK)2 dKを求めてみよう。 0 tanK=tとおくと、 dK ────=dt cos2 K dK=cos2 Kdt 1 =──────dt 1+tan2 K dt =──── 1+t2 K|0─→x ──────── t|0─→tanx x ∫(tanK)2 dK 0 tanx 1 =∫t2 ・────dt 0 1+t2 tanx 1 =∫{1-────}dt 0 1+t2 tanx =[t-tan-1t] 0 =tanx-tan-1tanx =tanx-x したがって、 x ∫(tanK)2 dK=1-xより、 0 tanx-x=1-x tanx=1より、 π ∴x=─ ……(答) 4 ※この問題は、方程式(L)から未知数xを求める問題であって、 関数の微分の問題ではないので、その使い方を間違えると変な結果 になってしまう。 例えば、方程式x2 =1を解くと、x=±1となるが、 うっかり両辺をxで微分してしまうと、2x=0となり、x=0と いう間違いが生じる。 質問の問題もこの点について間違えてしまった。 微積分の基本定理より、 d x ──・∫tan2 kdk=tan2 x dx 0 はよいが、右辺の1-xの微分とドッキングしてはいけない。 積分して、 x ∫tan2 kdk=tanx-x 0 と右辺の1-xをドッキングするのはよい。 tanx-x=1-x tanx=1 ∴x=45°