質問＜４３０＞２００１／３／２２
from=ごんべぇ
「空間とコーシー・シュワルツ」

x.y.zが任意の実数値をとるとき 
不等式 
x＋y＋z≦a×√(x^2＋y^2＋z^2) 
が常に成立する。 
このとき定数aの最小値を求めよ 

(解説)
ベクトル(1,1,1)と(x,y,z)にCauchy-Schwarzをつかって、 
x+y+z≦√[3(x^2+y^2+z^2)] 
等号はx=y=zのとき、またそのときのみ成り立つ
min(a)=√3 

・・・・・・・・・・・・・・・・・
上の問題で解説が書かれているのですが
この解説がまったくわかりません(汗
また空間ベクトルにシュワルツ不等式を使っていますが
空間ベクトルとシュワルツの不等式について
図を用いて丁寧に解説していただけないでしょうか?
御忙しい中恐縮ですがよろしくお願いします

お返事２００１／３／２３
from=武田

シュワルツの不等式は、ベクトルの内積の定義より導かれたものなので、
　→　→　　　　→　　 →
（ｘ・ｙ）2 ≦｜ｘ｜2 ｜ｙ｜2 

問題を解くときにベクトルが使われる。
なお、内積の定義は、
→　→　　→　　→
ｘ・ｙ＝｜ｘ｜｜ｙ｜cosθ

ｘ＋ｙ＋ｚ≦ａ√（ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｚ2 ）
の最小値ａを出すために、ベクトルを使うのは奇異に思うが、シュワルツ
の不等式を使うためには仕方がない。
→　　　　　　　　　　→
ｘ＝（ｘ，ｙ，ｚ）　｜ｘ｜2 ＝ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｚ2 

→　　　　　　　　　　→
ｙ＝（１，１，１）　｜ｙ｜2 ＝３

内積
→　→
ｘ・ｙ＝ｘ＋ｙ＋ｚ

シュワルツの不等式より、
（ｘ＋ｙ＋ｚ）2 ≦３（ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｚ2 ）
平方根をとって、
ｘ＋ｙ＋ｚ≦√３√（ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｚ2 ）
したがって、
ｘ，ｙ，ｚは任意の実数値のとき、上のシュワルツの不等式が成り立つ。
なお、ｘ＝ｙ＝ｚのとき、等号が成り立つ。
ａは√３より大きければ、この不等式は成り立つが、その中で最小値は
∴ａ＝√３……（答）