質問＜４３３＞２００１／３／２５
質問をお願いします
実は大変恐縮なのですが
特性方程式⇒漸化式⇒確率を背景に
自分で何気なく作ってみた問題が解けなくて四苦八苦しております。
お力を貸していただけないでしょうか?
↓のようなのを作ってみたのですが・・
【確率漸化式】
数直線上を原点からみぎに(正の方向へ)サイコロをふって進む。
さいころの目が1.2.3のときはみぎに1つ進み、4.5が出れば右に2つ進み、
6がでればみぎに3進むとする。
このようにして丁度、このとき点+10に達する確率を求めよ。
(自分で考えている解法その①)
点n、n+1、n+2、n+3に達する確率をそれぞれP(n)、P(n+1)、P(n+2)、
P(n+3)と設定する。
点n+3にたどり着く確率P(n+3)について
P(n+3)=1/2*P(n+2)+1/3*P(n+1)+1/6*P(n)・・・・・・・・・(☆)
と表せる。
また
P(1)=1/2
P(2)=7/12
P(3)=15/24
より☆の四項間漸化式を解けばP(n)が求まり、点+10に達する確率を
知ることができる。
・・・・・・・・・・・・・・・・
ここで☆の漸化式を解こうと思っているのですが能力不足で解くことが
できませんでした。
質問というのはこの漸化式の値を教えていただきたいのです。
閑話休題、この前質問させていただいた特性方程式をあれから少し調べてみて
小難しい用語で書くと下の『』のようになるらしいです。
下の『』の文章は全然理解できないのですがそれを鵜呑みにすると☆印の
漸化式はP(n)=λ^nと仮定して代入し得られた
方程式6λ^3-3λ^2-2λ-1=(λ-1)(6λ^2+3λ+1)=0（これが特性方程式）
の３解λ1=1,λ2,λ3を線形結合したP(n)=C1+C2*λ2^n+C3*λ3^nが一般解．
となるみたいなのです・・・
そして条件
P(1)=1/2
P(2)=7/12
P(3)=15/24
を当てはめてやると解けそうなのですが混乱してしまって何回やってもその
都度違う値になってしまい
質問をお願いするという形にさせていただきました。
『一般に，非斉次線形漸化式の一般解は，斉次線形漸化式の 一般解と
非斉次線形漸化式の特解の１つを加えてやれば得られる。
斉次線形漸化式 Σd(n)*a[n]=0（d(n)は定数)の一般解は，特解を
a[n]=λ^nと仮定して代入し，
得られた特性方程式 Σd(n)*λ^n=0 を解くことで，それを線形結合
してa[n]=Σ[n]c(i)*λ(i)^n が得られる。
（ただし，特性方程式が重解になる場合は，別の独立解をみつけるために
多少工夫が必要．）
上記の考え方でa[n+2]=pa[n+1]+qa[n] 型の漸化式の特性方程式は，
λ^2=pλ+q となる． 』
(自分が考えている解法その②)
上記の考えは四項間漸化式を解かなくてはならないので余事象を考えて
三項間漸化式にしてやる。
点n+3を踏まない確率は(1-P(n+3))であり、それについて
1-P(n+3)={(1/3)+(1/6)}P(n+2)+1/6*P(n+1)
P(1)=1/2
P(2)=7/12
P(3)=15/24
という漸化式が考えられる。
あとはそれを解けばいい。
・・・・・・・・・・・・・・・・・
以上二つの考え方で解いてみようと思っているのですが先述の通り解
が求まらなくてこまっております。
よろしくお願いいたしますm(_ _)m
お返事２００１／３／２８
from=武田
特性方程式
１ １ １
λ3 ＝─λ2 ＋─λ＋─
２ ３ ６
６λ3 －３λ2 －２λ－１＝０
（λ－１）（６λ2 ＋３λ＋１）＝０
－３±√１５・ｉ
∴λ＝１または、λ＝────────
１２
１実数解、２虚数解なので、虚数解を極形式で表現すると、
－３±√１５・ｉ √６
────────＝──（cosθ±ｉsinθ）
１２ ６
ただし、
√６ √１０
cosθ＝－─── ，sinθ＝───
４ ４
より、
√６ √６
Ｐ（ｎ）＝Ｃ1 ＋Ｃ2 (──)n (cosθ＋ｉsinθ)n ＋Ｃ3 (──)n (cosθ－ｉsinθ)n
６ ６
√６ √６
＝Ｃ1 ＋Ｃ2 (──)n (cosｎθ＋ｉsinｎθ)＋Ｃ3 (──)n (cosｎθ－ｉsinｎθ)
６ ６
√６
＝Ｃ1 ＋(──)n {(Ｃ2 ＋Ｃ3 )cosｎθ＋(Ｃ2 －Ｃ3 )ｉsinｎθ}
６
１ ７ １５ ５
Ｐ（１）＝─ ，Ｐ（２）＝── ，Ｐ（３）＝──＝─ より、
２ １２ ２４ ８
虚数はないので、Ｃ2 －Ｃ3 ＝０ ∴Ｃ2 ＝Ｃ3
｛２Ｃ1 －Ｃ2 ＝１……①
｛１２Ｃ1 －Ｃ2 ＝７……②
②－①より、
３ １ １
∴Ｃ1 ＝─ ，Ｃ2 ＝─ ，Ｃ3 ＝─
５ ５ ５
したがって、
３ ２ √６
Ｐ（ｎ）＝─＋─(───)n cosｎθ ……（答）
５ ５ ６
ｎ＝１０より、
√６
Ｐ（１０）＝０．６＋０．４・（── ）10cos１０θ
６
√６ √６
cosθ＝－───より、θ＝cos-1（－── ）
４ ４
√６
cos１０θ＝cos｛１０cos-1（－─── ）｝
４
＝-0.953125より、
Ｐ（１０）＝０．６＋０．４・0.000128601・（-0.953125）
＝０．６－0.00004902913125
＝0.59995097086875
≒０．６……（答）