質問<450>2001/4/16
この問題がわからないのでおしえてください。お願いします。 数列{an}の初項から第n項までの和Snが, Sn=2an-2^(n+1)+2(n=1,2,3,・・・)を満たすとき (1)a1を求めよ。 (2)an,Snをnの式で表せ。
お返事2001/4/16
from=武田
問1 n=1のとき、 S1 =2a1 -22 +2 S1 はa1 のことだから、 a1 =2a1 -4+2 ∴a1 =2 問2 Sn =2an -2n+1+2 -)Sn-1=2an-1-2n +2 ───────────── an =2(an -an-1)-2n したがって、 an -2an-1-2n =0 次数を1つ上げて、 an+1-2an-2n+1=0 変形すると、 an+1-2an=2・2n これは差分方程式だから、公式より ================================ an+1+αan=βn・R(n)ならば、 ①α=βならば、特解をa*n =βn ・Q(n)とおく。 ②α≠βならば、特解をa*n =n・βn ・Q(n)とおく。 ただし、Q(n)はR(n)と同じ次数で、係数を未定として、未定係 数法で求める。 この差分方程式の一般解は an =C(-α)n +a*n ================================ -2≠2とR(n)=2より、Q(n)=k(1次式)とおくと、 特解はa*n =n・2n ・kとなる。 問題の差分方程式の左辺に代入して、 左辺=a*n+1-2a*n =(n+1)・2n+1・k-2・n・2n ・k =n・2n+1・k+2n+1・k-n・2n+1・k =2n+1・k これと、右辺=2・2nを見比べて、 2k=2より、k=1 したがって、特解はa*n =n・2n 問題の差分方程式の一般解は an =C2n +n・2n 問1よりa1 =2より、 2=C21 +1・21 2C=0より、C=0 したがって、 an =n・2n ……(答) Sn =2an -2n+1+2 =2n・2n -2n+1+2 =2n (2n-2)+2……(答) ※この問題は差分方程式でも右辺が難しいものなので、特解が難しい。
お便り2001/4/18
from=kyukusu
an+1-2an=2^n+1の後,両辺を2^n+1で割って an+1 an an ―――-―――=1として―――=bnとおく方法は 2^n+1 2^n 2^n どうでしょうか?簡単にanは求まりますよ.
お返事2001/4/18
from=武田
kyukusuさん、久しぶりです。 私は数列になると、直ぐ差分方程式に行ってしまって、難しくなるので、 反省しています。 確かにお便りの方法がベストですね。 an+1-2an =2n+1 両辺を2n+1で割って an+1 an ―――-――=1 2n+1 2n an ──=bn とおくと、 2n bn+1-bn =1 a1 =2より、b1 =1 数列{bn }は、初項1、公差1の等差数列だから、 bn =1+(n-1)×1=n したがって、 an ──=nより、an =n・2n ……(答) 2n