質問

この問題がわからないのでおしえてください。お願いします。

数列｛ａn｝の初項から第ｎ項までの和Ｓnが，　
Ｓn＝２ａn－２^(n+1)＋２（ｎ＝１，２，３，・・・）を満たすとき
（１）ａ1を求めよ。
（２）ａn，Ｓnをｎの式で表せ。

お返事２００１／４／１６
from=武田

問１
ｎ＝１のとき、
Ｓ₁＝２ａ₁－２²＋２
Ｓ₁はａ₁のことだから、
ａ₁＝２ａ₁－４＋２
∴ａ₁＝２

問２
　　Ｓ_n＝２ａ_n－２ⁿ⁺¹＋２
－）Ｓ_n-1＝２ａ_n-1－２ⁿ＋２
　─────────────
　　ａ_n＝２（ａ_n－ａ_n-1）－２ⁿ

したがって、
ａ_n－２ａ_n-1－２ⁿ＝０
次数を１つ上げて、
ａ_n+1－２ａ_n－２ⁿ⁺¹＝０
変形すると、
ａ_n+1－２ａ_n＝２・２ⁿ
これは差分方程式だから、公式より
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
ａ_n+1＋αａ_n＝βⁿ・Ｒ（ｎ）ならば、
①α＝βならば、特解をａ^*_n＝βⁿ・Ｑ（ｎ）とおく。
②α≠βならば、特解をａ^*_n＝ｎ・βⁿ・Ｑ（ｎ）とおく。
ただし、Ｑ（ｎ）はＲ（ｎ）と同じ次数で、係数を未定として、未定係
数法で求める。
この差分方程式の一般解は
ａ_n＝Ｃ（－α）ⁿ＋ａ^*_n
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
－２≠２とＲ（ｎ）＝２より、Ｑ（ｎ）＝ｋ（１次式）とおくと、
特解はａ^*_n＝ｎ・２ⁿ・ｋとなる。
問題の差分方程式の左辺に代入して、
左辺＝ａ^*_n+1－２ａ^*_n
　　＝（ｎ＋１）・２ⁿ⁺¹・ｋ－２・ｎ・２ⁿ・ｋ
　　＝ｎ・２ⁿ⁺¹・ｋ＋２ⁿ⁺¹・ｋ－ｎ・２ⁿ⁺¹・ｋ
　　＝２ⁿ⁺¹・ｋ
これと、右辺＝２・２ⁿを見比べて、
２ｋ＝２より、ｋ＝１
したがって、特解はａ^*_n＝ｎ・２ⁿ

問題の差分方程式の一般解は
ａ_n＝Ｃ２ⁿ＋ｎ・２ⁿ

問１よりａ₁＝２より、
２＝Ｃ２¹＋１・２¹
２Ｃ＝０より、Ｃ＝０

したがって、
ａ_n＝ｎ・２ⁿ……（答）

Ｓ_n＝２ａ_n－２ⁿ⁺¹＋２
　　＝２ｎ・２ⁿ－２ⁿ⁺¹＋２
　　＝２ⁿ（２ｎ－２）＋２……（答）

※この問題は差分方程式でも右辺が難しいものなので、特解が難しい。

お便り２００１／４／１８
from=kyukusu

ａn+1－２ａn＝２^n+1の後，両辺を２^n+1で割って
ａn+1　　ａn　　　　　　 ａn
―――－―――＝１として―――＝ｂnとおく方法は
２^n+1　　２^n　　　　　　２^n
どうでしょうか？簡単にａnは求まりますよ．

お返事２００１／４／１８
from=武田

kyukusuさん、久しぶりです。
私は数列になると、直ぐ差分方程式に行ってしまって、難しくなるので、
反省しています。
確かにお便りの方法がベストですね。

ａ_n+1－２ａ_n＝２ⁿ⁺¹

両辺を２ⁿ⁺¹で割って

ａ_n+1　　ａ_n
―――－――＝１
２ⁿ⁺¹　　２ⁿ

ａ_n
──＝ｂ_nとおくと、
２ⁿ

ｂ_n+1－ｂ_n＝１

ａ₁＝２より、ｂ₁＝１

数列｛ｂ_n｝は、初項１、公差１の等差数列だから、
ｂ_n＝１＋（ｎ－１）×１＝ｎ

したがって、
ａ_n
──＝ｎより、ａ_n＝ｎ・２ⁿ……（答）
２ⁿ