質問＜４９０＞２００１／５／２４
from=hiro
「重なる2円の面積」

中心間距離dで半径が共にrの2円の重なる面積を
求めるにはどうすればいいのでしょうか？

お返事２００１／５／２５
from=武田

∠ＡＯＢ＝θとすると、
　　　　　　　　　１
扇形ＯＡＢの面積＝─ｒ2 θ
　　　　　　　　　２

　　　　　　　　１
△ＯＡＢの面積＝─ｒ2 sinθ
　　　　　　　　２


重なる面積＝（扇形ＯＡＢの面積－△ＯＡＢの面積）×２
　　　　　　　１　　　　１
　　　　　＝（─ｒ2 θ－─ｒ2 sinθ）×２
　　　　　　　２　　　　２


　　　　　＝ｒ2 （θ－sinθ）

ただし、ＯＯ’＝ｄだから
△ＡＯＯ’における余弦定理より

ｄ2 ＝ｒ2 ＋ｒ2 －２ｒ・ｒcos（π－θ）
ｄ2 ＝２ｒ2 ＋２ｒ2 cosθ

　　　　ｄ2 －２ｒ2 
cosθ＝───────
　　　　　２ｒ2 

したがって、
Ｓ＝ｒ2 （θ－sinθ）　……（答）
　　ただし、
　　　　　　　　ｄ2 －２ｒ2 
　　　　cosθ＝───────
　　　　　　　　　２ｒ2 

お便り２００１／５／２７
from=hiro

θ を使わないで面積を出すのは可能でしょうか？

お返事２００１／５／２７
from=武田

２つの中心間の距離ｄが変化すると、どうしてもθがでてきますので、
使わないで面積を求めることは無理だと思います。

∠ＡＯＢ＝９０°のときだと、
　　　　　　　　　１
扇形ＯＡＢの面積＝─πｒ2 
　　　　　　　　　４

　　　　　　　　１
△ＯＡＢの面積＝─ｒ2 
　　　　　　　　２


重なる面積＝（扇形ＯＡＢの面積－△ＯＡＢの面積）×２
　　　　　　　１　　　　１
　　　　　＝（─πｒ2 －─ｒ2 ）×２
　　　　　　　４　　　　２

　　　　　　　　　π
　　　　　＝ｒ2 （－－１）
　　　　　　　　　２

となりますけどね。