質問＜４９７＞２００１／５／２９
どうにもこうにも解らないので、教えて下さい。 体積が一定の場合、表面積が最小となるのは「球」であることが証明で きません。 高校数学の範囲を越えた解法でもよいので是非教えて下さい。 よろしくお願いします。
お返事２００１／５／２９
from=武田
インターネットの検索で、佐藤郁郎さんの「Ikuro's Home Page」を発見 しました。そのホームページの「多様体の微分幾何？」に関するところに あった説明が解答として相応しいので、掲載しました。感謝！！ ------------------------------------------------------- 【１】クマはなぜ丸くなって冬眠するか（等周不等式） 平面凸集合に関して，周の長さＬが一定で面積Ａが最大の図形（面積 が一定で周の最小な図形）は円であるという事実は古代ギリシアの時代 からよく知られています．そのことはＬ2 ≧４πＡという不等式で表現 されます．等号は円のときだけ成立します． 同様に，３次元凸集合に対し，表面積をＳ，体積をＶとすると Ｓ3 ≧３６πＶ2 が成り立ちます． 等号成立は球のときだけで，すべての立体中で球が表面積に対して最大 の体積をもっています． ところで，シャボン玉はなぜ丸くなるのでしょうか？ 等周不等式 Ｓ3 ≧３６πＶ2 に関係していることは直感的に発想できるでしょうが，後述するように， 等周不等式は平均曲率一定曲面と密接な関わりをもっています． また，クマやリスなど動物達は（この定理を知っているから）丸くなっ て冬眠しますが，（この定理を知らない）酔っぱらいのオヤジは往来に 大の字になって寝ていて凍死するはめになるというわけです． さて，立体図形のＳ3 ／Ｖ2 は平面図形のＬ2 ／Ａ の相当していて，「等周比」あるいは「等周定数」と呼ばれます． そこで，等周不等式 Ｌ2 ≧４πＡ Ｓ3 ≧３６πＶ2 をどんな次元にも適用できるように公式化してみましょう． 半径ｒのｎ次元超球の体積はＶnｒn ，表面積はｎＶnｒn-1 となりますから， 等周比を無次元化するために， ｎ次元等周比＝表面積n ／体積n-1 と定義すると， ｎ次元等周比≧ｎn Ｖn＝ｎn πn/2 /Γ(n/2+1)（＝Ｃn） を得ることができます．等号は超球のときに限ります． この証明はＶn＝πn/2 /Γ(n/2+1)であることが理解できれば 簡単ですが，少々長くなるのでコラム「幾何の問題（PartⅡ）」に譲ること にします． とくに，ｎ＝２のときとｎ＝３のときについては， Ｃ2 ＝４π Ｃ3 ＝３６π になることがわかります．以下， Ｃ4 ＝27 π2 Ｃ5 ＝8/3*54 π2 Ｃ6 ＝65 π3 ・・・・・・・ となりますが，等周比が有理数（整数）×πの形となるのは， ２次元・３次元だけのようです．
お便り２００１／５／３０
from=佐藤 郁郎
お役に立てて光栄です.転載は一向に構いません. 「球」であることの証明は,一般的には「シュタイナーの対称化」 でなされるようですが，凸体であって対称性のある図形といえば 「球」なのですから，直感的に正しいことは誰しもわかると思います． むしろ,シュタイナーの証明を見てしまうと, 狐につままれたような感じになり,これで 本当に証明になっているか疑問が残りました．