質問<516>2001/6/15
kを実数とするとき、方程式x^3-(2k+1)x^2+(4k^2+2k)x-4k^2=0 の解をz1、z2、z3とし、それらを複素数平面上の点と見なす。 (1)z1、z2、z3が一直線上にあるようなkの値を求めよ。 (2)z1、z2、z3が直角三角形をなすようなkの値を求めよ。 (3)3点z1、z2、z3を原点の周りに角θだけ回転して 得られる3点をw1、w2、w3とする。w1、w2、w3、 および、それらと共役な複素数w1のバー、w2のバー、w3のバーとが 原点中心の正六角形の頂点となるとき、 k、およびθ(0≦θ≦π)の値を求めよ。
お返事2001/6/18
from=武田
検討しましたが、解決しません。 未解決コーナーに移しますので、 誰かアドバイスを下さい。 ※d3さんから下記のアドバイスを頂きました!! 感謝!!
お便り2001/6/19
from=d3
kを実数とする. 方程式x^3-(2k+1)x^2+(4k^2+2k)x-4k^2=0 これは,x=1を解にもつ!因数分解して, (x-1)(x^2-2kx+4k^2)=0 から,x=1,(1±√3i)k. (1)z1、z2、z3が一直線上にあるのは,k=0,1. (2)z1、z2、z3が直角三角形をなすのは,k=0 ではダメで, 1の頂角が直角なので, |√3k|=|k-1|. ±√3k=k-1. k=(-1±√3)/2. (3)原点中心の正六角形の頂点となるとき、 (w1+w2+w3)+(w1+w2+w3)のバー=0 なので, w1+w2+w3=0. ということは回転する前から, z1+z2+z3=0. この三点が作る三角形は,重心が原点であり, 原点中心の正六角形の三頂点であるので, 正三角形となる.したがって, z1、z2、z3=1,(-1±√3i)/2. k=-1/2. コレに回転を施して,w1、w2、w3および、 w1のバー、w2のバー、w3のバーが 原点中心の正六角形の六頂点となるので, 実軸を垂直に切る辺を二つもつ正六角形である. このとき,点(1)が回転して移る先から, θ=π/6,π/2,5π/6 である.
お便り2001/6/21
from=d3
訂正です.飛躍がありました.すみません. (3)原点中心の正六角形の頂点となるとき、 (w1+w2+w3)+(w1+w2+w3)のバー=0 なので, w1+w2+w3=0. ↑ここです!(w1+w2+w3)の実数部分=0しかいえません. 以下修正です. (2)では 二等辺三角形になってることに注意してください! (それでもってこの二等辺三角形は実軸に2等分される!) (3)まずここで, w1,w2,w3,w1のバー,w2のバー,w3のバーは, 原点中心の正六角形の頂点です. 複素共役な2点は実軸対称にあるので, 実軸を垂直に切る辺を二つもつ正六角形である. うち一つは1に回転を加えたものなので, 六つの点の原点からの距離は1で,偏角は, π/6,3π/6,5π/6,7π/6,9π/6,11π/6. θの範囲から,1が動いたことを考えると, θ=π/6,π/2,5π/6. (w1+w2+w3)+(w1+w2+w3)のバー=0 なので, (w1+w2+w3)の実数部分=0. これとあわせて, θ=π/2のときは,偏角は, π/6,3π/6,5π/6の組か,3π/6,7π/6,11π/6の組. θ=π/6,5π/6のときは, π/6,5π/6,9π/6の組. したがって,次の2つの場合で, (z1、z2、z3がつくる三角形は1を頂点とする二等辺三角形で,実軸に2等分されるので,) z1、z2、z3=1,(1±√3i)/2. z1、z2、z3=1,(-1±√3i)/2. k=±1/2. このとき,点(1)が回転して移る先から, θ=π/6,π/2,5π/6. コレでたぶん?いいのでは?