質問＜６２５＞２００１／８／２９
from=えび
「直線の方程式の決定」

はじめまして。文系の高２生です。　

問.　２本の直線 3x＋4y－11＝0・・・・・・①， 
　　12x－5y－2＝0・・・・・・② の交点をＰとする。

　　　
　　　(1）原点（0,0）と点Ｐを通る直線の方程式は y＝ァ（　　　　）である。

　　　(2）点Ｐを通り、直線①に垂直な直線の方程式は y＝ィ（　　　　）である。

　　　(3）点Ｐを通る直線ｌ (←小文字のエル）が円x^2＋y^2＝2によって切り取
　　　　　られる線分の長さが2のとき、直線ｌの方程式は y＝ゥ（　　　　）で
　　　　　ある。ただし、ｌ の傾きは正とする。

・(1）と(2）の答えは分かった（ァ→y＝2x，ィ→y＝－1／2）のですが、
(3）の途中式が分かりません。 

交点Ｐ（1，2）〔←先に求めたものと考えて。〕
（3）　傾きをm（m＞0）とすると、点Ｐを通る直線　y＝m（x－1）＋2
　　　ゆえに mx－y＋2－m＝0・・・・・・③
　　　円 x＾2＋y＾2の中心と直線 mx－y＋2－m＝0の距離ｄ は，
　　　ｄ＝[2－m]／√m＾2＋1
　　　　　↑絶対値
　　　題意を満たすとき、ｄ＾2＋（2／2）＾2＝（√2）＾2
　　　ゆえに ｄ＾2＝1　　　　　　　
　　　よって　（2－m）＾2＝m＾2＋1　これを解いて m＝3／4
　　　求める直線の方程式は y＝3／4x＋5／4

と解答にも、答えられていました。
解答を見て考えても、青色の式は何の式なのかよく分かりません。
なので、赤色の部分もよく分かりません。
なぜ、こうなるのか教えてください！！！

お返事２００１／８／３１
from=武田

メールの関係で、色の部分が消えてしまいましたので、
どこがわからないかわかりませんが、推測して答えます。

（１）
連立を解いて、
｛３ｘ＋４ｙ－１１＝０………①
｛１２ｘ－５ｙ－２＝０………②

①×４－②より、
２１ｙ－４２＝０
∴ｙ＝２
①に代入して
３ｘ＋８－１１＝０
∴ｘ＝１
交点Ｐの座標は（１，２）となる。
したがって、
ｙ＝２ｘ………（答）

（２）
①の傾きは
４ｙ＝－３ｘ＋１１

　　　３　　１１
ｙ＝－―ｘ＋――
　　　４　　４
より、
　　　３
ｍ＝－―
　　　４

直交条件より、

ｍ’×ｍ＝－１より、

　　　　　３
ｍ’×（－―）＝－１
　　　　　４

　　　　４
∴ｍ’＝―
　　　　３

点Ｐ（１，２）を通るから、
　　　　４
ｙ－２＝―（ｘ－１）
　　　　３

　　４　　４　　　４　　２
ｙ＝―ｘ－―＋２＝―ｘ＋―………（答）
　　３　　３　　　３　　３

（３）
点Ｐを通る傾きがｍの直線の方程式は、
ｙ－２＝ｍ（ｘ－１）
ｙ＝ｍｘ－ｍ＋２



円ｘ2 ＋ｙ2 ＝２の中心（０，０）から切断した直線への
最短距離ｄは、
　｜
　｜＜直線とその外の点からの距離の公式＞
　｜　直線の方程式ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０、外の点（α，β）のとき、
　｜　　　　｜ａα＋ｂβ＋ｃ｜
　｜　　ｄ＝―――――――――
　｜　　　　　√（ａ2 ＋ｂ2 ）
　｜
直線の式を変形して、
ｍｘ－ｙ－ｍ＋２＝０より、

　　｜ｍ・０－０－ｍ＋２｜　　｜２－ｍ｜
ｄ＝―――――――――――＝―――――――
　　√｛ｍ2 ＋（－１）2 ｝　√（ｍ2 ＋１）

図の△ＯＡＨは直角三角形だから、三平方の定理より、
ｄ2 ＋１2 ＝（√２）2 
∴ｄ2 ＝１

したがって、
（２－ｍ）2 
――――――＝１
（ｍ2 ＋１）

（２－ｍ）2 ＝（ｍ2 ＋１）
４－４ｍ＋ｍ2 ＝ｍ2 ＋１
４ｍ＝３

　　　３
∴ｍ＝―
　　　４

点Ｐ（１，２）を通るから

　　　　３
ｙ－２＝―（ｘ－１）
　　　　４

　　３　　３　　　３　　５
ｙ＝―ｘ－―＋２＝―ｘ＋―………（答）
　　４　　４　　　４　　４