質問<626>2001/8/30
問1 D={(x,y)|x^2+y^2≦x}とするとき、次の2重積分を極座標に変換して求めよ。 ∫∫D√x dxdy 答えは8/15なのですが、領域をどのようにしたらい いのかよく分からず、解けませんでした。 たびたびすいません。広義積分がよく理解できません。 問2 次の値を求めよ。 ① ∞ ∫e^(-x^2-4x)dx -∞ ② ∞ ∫x^2・e^-x^2 dx 0 答え _ _ ①√π・e^4 ②√π/4
お返事2001/9/1
from=武田
問1 領域Dは x2 +y2 ≦xより、 (x2 -x)+y2 ≦0 1 1 (x-―)2 +y2 ≦― 2 4 1 1 中心(―,0)半径―の円内部がDとなる。 2 2 したがって、 ∫∫D√xdxdy 1 √(x-x2 ) =∫ ∫ √x dxdy 0 -√(x-x2 ) 1 √(x-x2 ) =∫ √xdx・∫ 1dy 0 -√(x-x2 ) 1 =∫ √xdx・{√(x-x2 )+√(x-x2 )} 0 1 =∫ 2x・√(1-x)dx=与式P 0 x=sin2 θとおくと、 dx=2sinθ・cosθdθ √(1-x)=cosθ x|0―→1 ――――――― θ|0―→π/2 π/2 P=∫ 2sin2 θ・cosθ・2sinθ・cosθdθ 0 π/2 =∫ 4sin3 θ・cos2 θdθ 0 π/2 =-4∫ (cos2 θ-cos4 θ)dcosθ 0 cos3 θ cos5 θ π/2 =-4[――――-―――― ] 3 5 0 0 0 1 1 =-4{(―-―)-(―-―)} 3 5 3 5 2 8 =-4・(-――)=――………(答) 15 15 ※極座標に変換して、 1 π/4 4∫ ∫ √(rcosθ)・r・drdθ 1/√2 0 ^↑^ 極座標に変換するときは 関数行列式(ヤコビアン) より、|J|=rをつける。 しかし、√cosθの積分ができず、頓挫してしまった。 問2 (1)(2) ※未解決問題に移したところ、星野さんからアドバイスをいただきました。 感謝!!
お便り2001/9/5
from=星野敏司
問 2 補題 ∫_0^∞ e^(-x^2) dx = (√π)/2 証明: D = {(x, y)| x ≧ 0, y ≧ 0}, D_R = {{(x, y)| x^2 + y^2 ≦ R^2, x ≧ 0, y ≧ 0} と置く。R→∞ の時 D_R→D. 先ず ∫_D_R e^(-x^2-y^2) dxdy で x = r cosθ, y = r sinθ と置くと, ∫_D_R e^(-x^2-y^2) dxdy = ∫_D_R e^(-r^2) rdrdθ = (π/2)[-e^(r^2)/2]_0^R = (π/4)(1-e^(-R^2))→π/4 as R→∞. よって ∫_D e^(-x^2-y^2) dxdy = π/4. 一方 左辺 = ∫_D e^(-x^2) e^(-y^2) dx dy = (∫_0^∞ e^(-x^2)dx)(∫_0^∞ e^(-y^2)dy) = (∫_0^∞ e^(-x^2)dx)^2. 従って言えた。 ① 与式 = ∫_(-∞)^∞ e^(-(x+2)^2 + 4) dx = e^4 ∫_(-∞)^∞ e^(-(x+2)^2) dx = e^4 ∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx … 平行移動 = 2 e^4 ∫_0^∞ e^(-x^2) dx … 対称性 = e^4 √π. ② 与式 = ∫_0^∞ x^2 e^(-x^2) dx = ∫_0^∞ x d(-e^(-x^2)/2) = [-x e^(-x^2)/2]_0^∞ + (1/2)∫_0^∞ e^(-x^2) dx = (√π)/4.