質問＜６５０＞２００１／９／２７
from=ゆうき
「等差数列」

①数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝が等差数列ならば、次の数列も等差数列で
あることを証明せよ。
（1）｛ａ4ｎ｝
（2）｛3ａｎ-2ｂｎ｝
②初項が40で、第10項から第19項までの和が-5である等差数列｛ａｎ｝
において、次の和をもとめよ。
　　｜ａ1｜＋｜ａ2｜＋｜ａ3｜＋・・・＋｜ａ30｜
③一般項がａｎ＝3ｎ＋1ぶんの2で表される数列｛ａｎ｝が調和数列で
あることを証明せよ。
　（ｎ＝1，2，3，・・・）

お便り２００１／１０／２
from=Hoshino

① a_n = a_1 + d_1(n - 1) , b_n = b_1 + d_2(n - 1) と置く。
(1) a_(4n) = a_1 + d_1(4n - 1) = a_1 + 4d1×n - d_1
= a_1 + 4d_1×n -4d_1 + 3d_1
= a_1 + 3d_1 + 4d_1(n - 1).
より初項 a_1 + 3d_1 公差 4d_1 の等差数列である。
(2) 3a_n - 2b_n
= 3(a_1 + d_1(n - 1)) - 2(b_1 + d_2(n - 1))
= 3a_1 - 2b_1 + (3d_1 - 2d_2)(n - 1).
よって初項 3a_1 - 2b_1, 公差 3d_1 - 2d_2 の等差数列である。

② 公差を d と置こう。
a_n = 40 + d(n - 1).
第 n 部分和を S_n と書くと
S_n = n(80 + d(n-1))/2.
故に題意より
S_19 - S_9 = 19(80 + 18d)/2 - 9(80 + 8d)/2
= 19(40 + 9d) - 9(40 + 4d)
= 400 + 135d = -5.
135d = -405.
d = -3.
よって
a_n = 40 - 3(n - 1)
= 43 - 3n.
よって a_n は第 3 項までは +, それ以降は -.
従って
|a_1| + |a_2| + |a_3| +  … + |a_30|
= a_1 + a_2 + a_3 - (a_4 +  … + a_30)
= S_3 - (S_30 - S_3)
= 2S_3 - S_30
= 3×(80 - 3×2) - 30×(80 - 3 ×29)/2
= 3×(80 - 6 - 5×(80 - 87))
= 3×(80 - 6 - 5×(-7))
= 3×(80 - 6 + 35) = 3 ×109 = 327.
③ [これは要するに定義だと思うのだが...]
b_n = 1/a_n = 3n + 1 が等差数列であることをいえばよい。
b_(n + 1) - b_n = 3(n + 1) + 1 - (3n + 1) = 3.
だからいえた。