質問<650>2001/9/27
①数列{an},{bn}が等差数列ならば、次の数列も等差数列で あることを証明せよ。 (1){a4n} (2){3an-2bn} ②初項が40で、第10項から第19項までの和が-5である等差数列{an} において、次の和をもとめよ。 |a1|+|a2|+|a3|+・・・+|a30| ③一般項がan=3n+1ぶんの2で表される数列{an}が調和数列で あることを証明せよ。 (n=1,2,3,・・・)
お便り2001/10/2
from=Hoshino
① a_n = a_1 + d_1(n - 1) , b_n = b_1 + d_2(n - 1) と置く。 (1) a_(4n) = a_1 + d_1(4n - 1) = a_1 + 4d1×n - d_1 = a_1 + 4d_1×n -4d_1 + 3d_1 = a_1 + 3d_1 + 4d_1(n - 1). より初項 a_1 + 3d_1 公差 4d_1 の等差数列である。 (2) 3a_n - 2b_n = 3(a_1 + d_1(n - 1)) - 2(b_1 + d_2(n - 1)) = 3a_1 - 2b_1 + (3d_1 - 2d_2)(n - 1). よって初項 3a_1 - 2b_1, 公差 3d_1 - 2d_2 の等差数列である。 ② 公差を d と置こう。 a_n = 40 + d(n - 1). 第 n 部分和を S_n と書くと S_n = n(80 + d(n-1))/2. 故に題意より S_19 - S_9 = 19(80 + 18d)/2 - 9(80 + 8d)/2 = 19(40 + 9d) - 9(40 + 4d) = 400 + 135d = -5. 135d = -405. d = -3. よって a_n = 40 - 3(n - 1) = 43 - 3n. よって a_n は第 3 項までは +, それ以降は -. 従って |a_1| + |a_2| + |a_3| + … + |a_30| = a_1 + a_2 + a_3 - (a_4 + … + a_30) = S_3 - (S_30 - S_3) = 2S_3 - S_30 = 3×(80 - 3×2) - 30×(80 - 3 ×29)/2 = 3×(80 - 6 - 5×(80 - 87)) = 3×(80 - 6 - 5×(-7)) = 3×(80 - 6 + 35) = 3 ×109 = 327. ③ [これは要するに定義だと思うのだが...] b_n = 1/a_n = 3n + 1 が等差数列であることをいえばよい。 b_(n + 1) - b_n = 3(n + 1) + 1 - (3n + 1) = 3. だからいえた。