質問＜６５７＞２００１／９／２９
from=3年10組12番
「空間ベクトル」

空間の点(10,0,0)を中心とする半径９の球面をＳ1とし、
点(0,10,0）を中心とする半径８の球面をＳ2とする。
Ｓ1とＳ2に接し原点を通る直線の長さ１の方向ベクトル
(a,b,c）(c≧０)をすべて求めよ。

お便り２００１／１０／３
from=Hoshino

S1: (x - 10)^2 + y^2 + z^2 = 9^2,
S2: x^2 - (y - 10)^2 + z^2 = 8^2.
求める直線は, 媒介変数 t を用いて
x = at,
y = bt,
z = ct,
a^2 + b^2 + c^2 = 1
と表される。

直線の式を S1 の式に代入して t で纏めると
(a^2 + b^2 + c^2 = 1 だから)
t^2 - 20at + 19 = 0.
接するからこれの t に関する判別式を D と置くと
D/4 = 100a^2 - 19 = 0.
故に a = ±(√19)/10.

同様に S2 の式に代入して t で纏めると
t^2 - 20bt + 36 = 0,
D/4 = 100b^2 - 36 = 0
∴b = ±6/10 = ±3/5.

a^2 + b^2 + c^2 = 1 で c ≧ 0 だから
c = √(1 - a^2 -b^2) = √(100 - 19 - 36) /10
= (√45)/10 = 3(√5)/10

(a, b, c) = (±(√19)/10, ±3/5,  3(√5)/10).
(複号はどのような順序にとってもよいので 4 種類ある。)