質問<657>2001/9/29
空間の点(10,0,0)を中心とする半径9の球面をS1とし、 点(0,10,0)を中心とする半径8の球面をS2とする。 S1とS2に接し原点を通る直線の長さ1の方向ベクトル (a,b,c)(c≧0)をすべて求めよ。
お便り2001/10/3
from=Hoshino
S1: (x - 10)^2 + y^2 + z^2 = 9^2, S2: x^2 - (y - 10)^2 + z^2 = 8^2. 求める直線は, 媒介変数 t を用いて x = at, y = bt, z = ct, a^2 + b^2 + c^2 = 1 と表される。 直線の式を S1 の式に代入して t で纏めると (a^2 + b^2 + c^2 = 1 だから) t^2 - 20at + 19 = 0. 接するからこれの t に関する判別式を D と置くと D/4 = 100a^2 - 19 = 0. 故に a = ±(√19)/10. 同様に S2 の式に代入して t で纏めると t^2 - 20bt + 36 = 0, D/4 = 100b^2 - 36 = 0 ∴b = ±6/10 = ±3/5. a^2 + b^2 + c^2 = 1 で c ≧ 0 だから c = √(1 - a^2 -b^2) = √(100 - 19 - 36) /10 = (√45)/10 = 3(√5)/10 (a, b, c) = (±(√19)/10, ±3/5, 3(√5)/10). (複号はどのような順序にとってもよいので 4 種類ある。)