質問＜６９＞９８／１０／１８
from=水野
「平面図形の軌跡など」

はじめまして。次の問題教えてください。参考書を見ても
よくわかりません。テストがあさってにあるので、できるだけ
早くお願いします。

＜問１＞
直線l:x=-1,点F(1,0)がある。点P(x,y)からlに垂線PHを
ひくとき、e=PF/PHを考える。
（1）e=1/√2のとき、点Pの軌跡を求めよ。

＜問２＞
楕円ｘ＾2/9 + y^2/4=1の第一象限の部分の上に点P(x,y)をと
る。点PからX軸、Y軸にそれぞれ垂線PQ,PRをひく。
長方形OQPRの面積の最大値とそのときのPの座標を求めよ。

よろしくお願いします。

お返事９８／１０／１９
from=武田

＜問１＞

P(x,y)とF(1,0)間の距離は、PF＝√{(x-1)2＋ｙ2}
P(x,y)とH(-1,y)間の距離は、PH＝x+1
PF/PH=e=1/√2より、
√{(x-1)2＋ｙ2}　　　１
────────＝────
　　ｘ＋１　　　　　√２
変形して
√２×√{(x-1)2＋ｙ2}＝ｘ＋１
２乗して
２{(x-1)2＋ｙ2}＝（ｘ＋１）2
展開して
２ｘ2－４ｘ＋２＋２ｙ2＝ｘ2＋２ｘ＋１
ｘ2－６ｘ＋１＋２ｙ2＝０
ｘ2－６ｘ＋９－９＋１＋２ｙ2＝０
（ｘ－３）2＋２ｙ2＝８
したがって
（ｘ－３）2　　ｙ2
─────＋───＝１
　　８　　　　４
点Pの軌跡は、中心（３，０）、長径２√２、短径２の楕円となる。

＜問２＞

楕円ｘ2/9 + y2/4=1の第一象限の部分の
長方形OQPRの面積をＳとする。
Ｓ＝ｘｙ
２乗して
Ｓ2＝ｘ2ｙ2……①

ｘ2/9 + y2/4=1を変形して
ｙ2＝４－4/9・ｘ2……②

②を①に代入すると、
Ｓ2＝ｘ2ｙ2
　　＝ｘ2（４－4/9・ｘ2）
　　＝４ｘ2－4/9・ｘ4
　　＝－4/9（ｘ4－９ｘ2）
　　＝－4/9（ｘ4－９ｘ2＋81/4－81/4）
　　＝－4/9（ｘ2－9/2）2＋９
ｘ2＝9/2のとき、最大値９
点Ｐ（ｘ、ｙ）は第一象限だから、ｘ＞０より、
∴ｘ＝３／√２
②に代入して、
ｙ2＝４－4/9・9/2＝４－２＝２
ｙ＞０より、
∴ｙ＝√２
点Ｐ（３／√２、√２）

Ｓ＞０より、面積の最大値は
Ｓ＝√９＝３