質問<758>2002/1/2
from=R
「関数」
(1)aを正の定数とするとき、0<=x<=aにおける関数 y=x^2-2x+3の最大値、最小値をもとめよ。 (2)2次関数y=x^2-2axの0<=x<=1における 最大値、最小値をもとめよ。 (3)-2<=x<=2の範囲でX^2-2ax+3a>0であ るための条件をもとめよ。ただし、aは定数とする。
お返事2002/1/6
from=武田
(問1)
のグラフは、頂点(1,2)で下に凸である。
a>0で、 の範囲で最大値と最小値を求めるのは、aについて
場合分けする。
①0<a≦1のとき、最大値3(x=0のとき)、最小値 (x=aのとき)
②1<a<2のとき、最大値3(x=0のとき)、最小値2(x=1のとき)
③a=2のとき、最大値3(x=0,2のとき)、最小値2(x=1のとき)
④2<aのとき、最大値 (x=aのとき)、最小値2(x=1のとき)
(問2)
のグラフは、頂点 で下に凸である。
0≦x≦1の範囲で最大値と最小値を求めるのは、aについて
場合分けする。
①a≦0のとき、最大値1-2a(x=1のとき)、最小値0(x=0のとき)
② のとき、最大値1-2a(x=1のとき)、最小値 (x=aのとき)
③ のとき、最大値0(x=0,1のとき)、最小値 ( のとき)
④ のとき、最大値0(x=0のとき)、最小値 (x=aのとき)
⑤1<aのとき、最大値0(x=0のとき)、最小値1-2a(x=1のとき)
(問3)
より、グラフ
の頂点は で、下に凸である。
-2≦x≦2の範囲で、 となるためには、次の三ケ所で
調べる。
①f(-2)>0となるには、4+4a+3a>0より、
②頂点がx軸より上にあるのは、 より、0<a<3
③f(2)>0となるには、4-4a+3a>0より、a<4
したがって、0<a<4………(答)