質問<820>2002/4/14
from=しおり
「項を具体的に求めるとき」
一般項が an=(n^2-1)(n+2) (n=1,2,3,...) で与えられる数列{an}について、5で割り切れない項だけを順に取り出し てできる数列を{bn}とする。 ① B5を求めよ。 この問題の解答では、A1からA12まで具体的に求めてありました。一般 項bnを求めて、n=5を代入しようとして、間違いました。どのような時に 項を具体的に求めたらよいのか教えていただきたいです。他の問題でも、 先に一般項を求めようとして、間違えることが多いです。{bn}の一般項の 求め方も教えてください。 ちなみに、この後に ②bnは数列{an}の第何校目になるか。 とありましたが、こちらは解答で事足りました。 はじめて質問します。よろしくお願いします。
お返事2002/4/19
from=武田
に具体的に代入していくと、特長が見えてくる。
左記の5項が基本となる。
この中の第2項と第5項が、5で割り切れない項となる。
この上の5項を第1群として、第k群の第2項と第5項を求めると、
第2項
第5項
{bn}としては、第2項と第5項なので、規則的な式が1つ求まる
ことはない。
上のように場合分けするしかない。
問題のb5は、5÷2=2……1より、第3群の第2項のことを指すから、
………(答)
お便り2002/4/23
from=Hoshino
かなり高度なのであくまで参考ですが。 「{bn}としては、第2項と第5項なので、 規則的な式が1つ求まることはない。 上のように場合分けするしかない。」 というのは誤りです。 b_n の奇数項は各々 a_n の第 2, 7, 12, ... 項と対応すればいいのですから これは a_((5n-1)/2) と書けます (n が偶数には意味がない)。 b_n の偶数項は各々 a_n の第 5, 10, 15, ... 項と対応すればいいのですから これは a_(5n/2) と書けます (n が奇数の時には意味がない)。 そして数列 { (1 + (-1)^n)/2} は 0, 1, 0, 1, 0, 1 と 偶数項だけが 1 になりますし 数列 { (1 + (-1)^(n-1))/2} は 1, 0, 1, 0, 1, 0 と奇数項だけが 1 になりますので 結局 b_n は次の式で表されます。 b_n = (1 + (-1)^(n-1))/2 × a_((5n-1)/2) + (1 + (-1)^n)/2 × a_(5n/2).
お便り2002/4/26
from=d3
先生,お元気ですか?d3です. Hoshino(phaos)さんの質問<820>のアドバイスに触発されて^^, できましたので送ります. これからもよろしくお願いしますm(__)m 以下解答です. 質問<820>2002/4/14について, {a[n]}でこの添え字=番号を考えます. 5で割り切れる:5,10,15,・・・. 5で割ると2余る:2,7,12,・・・. で併せて, 2,5,7,10,12,15,・・・. この数列を{p[n]}として, q[n]:=p[n+1]-p[n]で定義した階差の数列{q[n]}を考えると, 3,2,3,2,3,2,・・・. でさらにr[n]:=q[n+1]-q[n]で定義した階差の数列{r[n]}を考えると, -1,1,-1,1,-1,1,・・・. これの一般項は,(等比数列なので)r[n]=(-1)^n. 以下のΣはすべてk=1 to n-1 とします. n≧2で,(n=1のときもあてはまっていますのでコトワリません) q[n]=q[1]+Σr[k]から,q[n]={5-(-1)^n}/2. (n=1のときもあてはまっていますのでコトワリません) さらにn≧2で,(こちらも,n=1のときもあてはまっています) p[n]=p[1]+Σq[k]から,p[n]={10n-1+(-1)^n}/4 したがって,{a[n]}でこの添え字p[n]のモノです. b[n]=a[p[n]]というワケになります. 代入してもきれいになりませんので,このままにしておきます.