質問

　一般項が　an=(n^2-1)(n+2)  (n=1,2,3,...)
で与えられる数列{an}について、5で割り切れない項だけを順に取り出し
てできる数列を{bn}とする。

①　B5を求めよ。

　この問題の解答では、A1からA12まで具体的に求めてありました。一般
項bnを求めて、n=5を代入しようとして、間違いました。どのような時に
項を具体的に求めたらよいのか教えていただきたいです。他の問題でも、
先に一般項を求めようとして、間違えることが多いです。{bn}の一般項の
求め方も教えてください。

　ちなみに、この後に

②bnは数列{an}の第何校目になるか。

とありましたが、こちらは解答で事足りました。

　はじめて質問します。よろしくお願いします。

お返事２００２／４／１９
from=武田

に具体的に代入していくと、特長が見えてくる。

 　左記の５項が基本となる。

この中の第２項と第５項が、５で割り切れない項となる。

この上の５項を第１群として、第ｋ群の第２項と第５項を求めると、

第２項

第５項

｛ｂｎ｝としては、第２項と第５項なので、規則的な式が１つ求まる

ことはない。

上のように場合分けするしかない。

問題のｂ５は、５÷２＝２……１より、第３群の第２項のことを指すから、

………（答）

お便り２００２／４／２３
from=Hoshino

かなり高度なのであくまで参考ですが。

「｛ｂｎ｝としては、第２項と第５項なので、
規則的な式が１つ求まることはない。
上のように場合分けするしかない。」
というのは誤りです。

b_n の奇数項は各々 a_n の第 2, 7, 12, ... 項と対応すればいいのですから
これは a_((5n-1)/2) と書けます (n が偶数には意味がない)。
b_n の偶数項は各々 a_n の第 5, 10, 15, ... 項と対応すればいいのですから
これは a_(5n/2) と書けます (n が奇数の時には意味がない)。

そして数列 { (1 + (-1)^n)/2} は
0, 1, 0, 1, 0, 1 と 偶数項だけが 1 になりますし
数列  { (1 + (-1)^(n-1))/2} は
1, 0, 1, 0, 1, 0  と奇数項だけが 1 になりますので
結局 b_n は次の式で表されます。

b_n
= (1 + (-1)^(n-1))/2 ×  a_((5n-1)/2)
+ (1 + (-1)^n)/2 × a_(5n/2).

お便り２００２／４／２６
from=ｄ３

先生，お元気ですか？ｄ３です．
Hoshino（phaos）さんの質問＜８２０＞のアドバイスに触発されて^^，
できましたので送ります．
これからもよろしくお願いしますm(__)m
以下解答です．

質問＜８２０＞２００２／４／１４について，
{a[n]}でこの添え字＝番号を考えます．
５で割り切れる：5，10，15，・・・．
５で割ると２余る：2，7，12，・・・．
で併せて，
2，5，7，10，12，15，・・・．
この数列を｛p[n]｝として，
q[n]：＝p[n＋1]－p[n]で定義した階差の数列｛q[n]｝を考えると，
3，2，3，2，3，2，・・・．
でさらにr[n]：＝q[n＋1]－q[n]で定義した階差の数列｛r[n]｝を考えると，
－1，1，－1，1，－1，1，・・・．
これの一般項は，（等比数列なので）r[n]＝(－1)^n．
以下のΣはすべてk＝1　to　n－1　とします．
n≧2で，（n＝1のときもあてはまっていますのでコトワリません）
q[n]＝q[1]＋Σr[k]から，q[n]＝｛5－(－1)^n｝/2．
（n＝1のときもあてはまっていますのでコトワリません）
さらにn≧2で，（こちらも，n＝1のときもあてはまっています）
p[n]＝p[1]＋Σq[k]から，p[n]＝｛10n－1＋(－1)^n｝/4
したがって，{a[n]}でこの添え字p[n]のモノです．
b[n]＝a［p[n]］というワケになります．
代入してもきれいになりませんので，このままにしておきます．