質問＜８７１＞２００２／６／１８
from=累累
「数の理論の問題」

      3   2
f(X)=X +aX +bX+C (a,b,cは実数)を考える。

f(-1)、f(0)、f(1)がすべて整数なら，すべての整数nに対し

f(n)は整数であることを示せ。また、f(1996)、f(1997)、

f(1998)がすべて整数の場合はどうか。

お便り２００２／６／２１
from=phaos

f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c; a, b, c ∈ R
に対し
f(-1) = a  - b + c - 1 ∈ Z (即ち a  - b + c ∈ Z),
f(0) = c ∈ Z,
f(1) = a + b + c + 1 ∈ Z (即ち a  + b + c ∈ Z).
即ち
a - b, a + b, c  ∈ Z.
そこで
A = a + b, B = a - b; A, B ∈ Z
と置くと,
a = (A + B)/2, b = (A - B)/2.

さてここで
f(n) ∈ Z ⇒ f(n + 1) ∈ Z
を示せば, 数学的帰納法により
∀n(n ∈ Z ⇒ f(n) ∈ Z)
が示される。

f(n + 1)
= (n + 1)^3 + a(n + 1)^2 + b(n + 1) + c
= (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (an^2 + 2an + a) + (bn + b) + c
= (n^3 + an^2 + bn + c) + (3n^2 + 3n + 1) + (a + b) + 2an
= f(n) + (3n^2 + 3n + 1) + A + (A + B)n ∈ Z
だから示された。

[後半]
さて一般に固定された N ∈ Z に対し
f(N - 1), f(N), f(N + 1) ∈ Z
の場合
g(x) = f(x - N)
=(x - N)^3 + a(x - N)^2 + b(x - N) + c
= x^3 + (a - 3N)x^2 + (-2aN + b + 3N^2)x + (N^3 + aN^2 - bN)
に対して同じ議論をすればよいので, 連続する三整数に対する値が
全て整数であるような実数係数の monic な多項式は
全ての整数に対して整数値を持つことが分かる。

お便り２００２／６／２２
from=toshi

x^3はxが整数ならば明らかに整数なので、考えない。
f(0)が整数なのでcは整数であるので、考えない。
f(1)=a+b=n(整数)
f(-1)=a-b=k(整数)
とn,kを置く。与式-（x^3+c）を考えると
g(x)=(n+k)x^2/2+(n-k)x/2
これが整数だと仮定すると
g(x+1)=(n+k)(x+1)^2/2+(n-k)(x+1)/2
        =(n+k)x^2/2+(n-k)x/2+(n+k)x+n
これはxが整数ならば成り立つ。
よって数学的帰納法より……成り立つ
g(x)は整数なのでf(x)=(整数)+(整数)=(整数)
である。

f(1996)、f(1997)、f(1998)がすべて整数の場合は高々
3次式の一般形(x^3+ax^2+bx+c)を平行移動させただけなので
(x=x-1997)
同様の性質をもつ。