質問＜８９１＞２００２／７／８
はじめまして、”老朽化”と申します。 わからない問題があるので教えていただけたら幸いです。 問題：次の式が成り立つことを証明せよ。 det| x0^n x0^(n-1) ... 1 | | x1^n x1^(n-1) ... 1 | | ... ... ... | | xn^n xn^(n-1) ... 1 | = (x0-x1)*(x1-x2)*...*(xn-x(n-1)) (x0,x1,...,xn,x(n-1)はxの添え字です。) 私は、この問題を数学的帰納法を用いて試みたのですが、 n=k+1のところをどうやって解いて証明するかで つまづいてうまくできませんでした。 また、問題にはヒントとして、 左辺の行列式はxに関してn*(n+1)/2次式だから、 行列式の性質を使ってその因数をリストアップすれば、 右辺の定数倍であることが言える。 定数因子が1であることは、対角成分の積の係数を比べればよい。 と書かれているのですが、ヒントはよく理解できません。 どんな方法でもいいので、教えてください。 よろしくお願いします。
お便り２００２／７／１１
from=phaos
ヒントの通りやってみましょう。 先ず, 次数ですが, 例えば対角成分を見れば n + (n - 1) + (n - 2) + … + 2 + 1 + 0 = (n + 0)(n + 1)/2 = n(n + 1)/2 が分かりますね。 さて例えば x_0 に x_1 を代入してみると 第一列と第二列が等しいので, 問題の行列式 = 0 ですから, 因数定理によって x_0 - x_1 を因数に持つことが分かります。 同様にして x_0 - x_2, x_0 - x_3, ... , x_1 - x_2, x_1 - x_3, ...... を因数に持ちますから 結局 Π_(i ＜ j) (x_i - x_j) を因数に持ちます。 これの次数を見ますと n + (n - 1) + (n - 2) + … + 2 + 1 = n(n + 1)/2 ですから, 次数を元の行列式と比較すると結局元の行列式は a*Π_(i ＜ j) (x_i - x_j) (a は 0 でない定数) ということが分かります。 さて, では元の行列式を展開したときの対角成分の所を見てみましょう。 これは Π_(i = 0)^n (x_i)^(n - i) です。 先の a*Π_(i ＜ j) (x_i - x_j) を展開して, 上記の Π_(i = 0)^n (x_i)^(n -i) の項だけを 取り出してみると a*Π_(i = 0)^n (x_i)^(n - i) であることが分かるので 結局 a = 1 であったということが分かるという理屈です。