質問＜９４＞９８／１２／４
from=水の流れ
「トリボナッチ数列の一般項」

　次のような漸化式で表される数列の一般項を求めてください。
ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝１，ｆ（３）＝２、
ｆ（ｎ＋３）＝ｆ（ｎ＋２）＋ｆ（ｎ＋１）＋ｆ（ｎ）

＊５月末から考えていますが、まだ、知り得ません。
よろしく、お願いします。

（例１）＜バスケットボール競技の得点経過＞
　　　今、私はバスケットボールの顧問をしています。競技
　　　での得点はフリースローは１点、フィールドスローは
　　　７ｍ以内は２点、７ｍ以上は３点として加算されてい
　　　きます。そこで、試合中スコアブックをみると、時間
　　　と得点経過が示されていました。
　　　ｎ点になるまでの得点経過はをＴ(n)とするとき、数列
　　　Ｔ(n)の漸化式はどうなるでしょうか。

（例２）＜駒の動き方＞
　　　下の図のような碁盤のますの中に、最初一番左下に駒
　　　があり、その座標（０，０）です。この駒は右、上、
　　　斜め上と３通りの方法で１ますづつ動くことができま
　　　す。図の一番右上のますの座標（ｍ、ｎ）までたどり
　　　着く経路は何とおりですか。　

（例３）大相撲の星取り表の中にもでてきます。
　　　大相撲の本場所で、３連敗しない方法（２連敗まで許
　　　される）勝ち負けの起こり方は１，２，３，４，・・
　　　、１５日目ではどんな数列になるでしょう。

お返事９８／１２／６
from=武田

「トリボナッチ数列」と言う名前は、初めて聞きました。
「フィボナッチ数列」の一般項を求めるときに購入した本
　培風館新数学シリーズ２０「差分方程式」高橋健人著　
を調べてみました。

フィボナッチ数列は、２階差分方程式と言い、
ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝１のとき
ｆ（ｎ＋２）＝ｆ（ｎ＋１）＋ｆ（ｎ）と言う形です。
ご質問のトリボナッチ数列は３階差分方程式と呼ばれている
ようです。
この本によると、ｎ階差分方程式は特性方程式を使って解く
ようです。

例えば、ｆ（ｎ＋２）＝ｆ（ｎ＋１）＋２ｆ（ｎ）のとき、
ｆ（ｎ＋２）－ｆ（ｎ＋１）－２ｆ（ｎ）＝０
ｆ（ｎ）＝ρnとおくと、
ρn+2－ρn+1－２ρn＝０
ρnで割ると、
ρ2－ρ－２＝０
(ρ－２)(ρ＋１)＝０（※因数分解できる場合）
ρ＝２，－１
したがって、
ｆ（ｎ）＝Ｃ1(２)n＋Ｃ2(－１)n
初期条件ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝１とすると、
Ｃ1＝１／３、Ｃ2＝－１／３
∴ｆ（ｎ）＝１／３｛(２)n－(－１)n｝

フィボナッチ数列の場合でやってみましょう。
ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝１のとき
ｆ（ｎ＋２）＝ｆ（ｎ＋１）＋ｆ（ｎ）と言う形です。
特性方程式ρ2－ρ－１＝０
因数分解できないので、解の公式より、
ρ＝(１±√５)/2
初期条件ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝１より、
Ｃ1＝１／√５、Ｃ2＝－１／√５
∴ｆ（ｎ）＝１／√５｛((１＋√５)/2)n－((１－√５)/2)n｝

つまり、特性方程式の解がポイントのようです。
さて、質問の３階差分方程式ですが、
ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝１，ｆ（３）＝２、
ｆ（ｎ＋３）＝ｆ（ｎ＋２）＋ｆ（ｎ＋１）＋ｆ（ｎ）より、
特性方程式はρ3－ρ2－ρ－１＝０
なんと３次方程式の解法がここで出てきました。しかし、こ
の３次方程式は上手には解けません。
α＝3√((１９＋３√３３)/27)
β＝3√((１９－３√３３)/27)
ω＝(－１＋√３ｉ)/2
ω2＝(－１－√３ｉ)/2
より、
ρ1＝α＋β＋1/3
ρ2＝αω＋βω2＋1/3
ρ3＝αω2＋βω＋1/3
が特性方程式の３つの解となります。
ρ1は実数解
ρ2とρ3は虚数解
虚数解の方を三角関数の極形式にして整理すると、
ｆ（ｎ）＝Ａ1(ρ1)n＋ｒn{Ａ2ｃｏｓ(ｎθ)＋Ａ3ｓｉｎ(ｎθ)}
ただし、ｒ2＝1/36・(３α＋３β－２)2＋3/4・(α－β)2
θ＝ｃｏｓ-1｛(-1/2・α－1/2・β＋1/3)／ｒ｝
初期条件より、Ａ1、Ａ2、Ａ3を求める。
しかし、近似値でしか求められない。これでいいのだろうか？