質問＜９８０＞２００２／１０／１２
from=オウガ
「極限」

lim[z→k]d/dz{(z-k)/sinπz}^2
ｋの条件をｋ（∈Ｚ）とする。

お便り２００２／１０／１５
from=phaos

t = z - k と置く
lim_(z → k) (d/dz)((z - k)/(sin πz))^2
= lim_(t → 0) (d/dt) (t / sin (πt - πk))^2
ここで
sin (πt - πk) = sin πt cos πk - cosπt sinπk
= (-1)^k sin πt
であるから
与式 = (-1)^k lim_(t → 0) (d/dt) (t / sinπt)^2
さて
(d/dt) (t / sinπt)^2 = 2(t / sinπt) (d/dt)(t/sinπt)
であり
t/sin πt = (1/π) (πt/sin πt) → 1/π (as t → 0)
だから問題は
lim_(t → 0) (d/dt)(t/sinπt)
= lim_(t → 0)((sin πt - πt cos πt)/sin^2 πt
= lim_(x → 0) ((sin x - x cos x)/sin^2 x
(x = πt)
である。

二通りやり方がある。
(1) ロピタルの定理による方法
lim_(x → 0)(sin x - x cos x)/sin^2 x
= lim_(x → 0)(cos x - cos x + x sin x)/(2 sin x cos x)
= lim_(x → 0) (x sin x /(2 sin x cos x)
= lim_(x → 0) (x/(2cos x)) = 0.

(2) Taylor 展開による方法
sin x = x - x^3/3! + o(x^3),
cos x = 1 - x^2/2! + o(x^2)
より
(sin x - x cos x)/sin^2 x
= (x - x^3/3! - x + x^3/2! + o(x^3))/(x^2 + o(x^2))
= (x^3/3 + o(x^3))/(x^2 + o(x^2))
= (x/3 + o(x))/(1 + o(1)) → 0.

何れにしても 与式 = 0.