質問<980>2002/10/12
lim[z→k]d/dz{(z-k)/sinπz}^2 kの条件をk(∈Z)とする。
お便り2002/10/15
from=phaos
t = z - k と置く lim_(z → k) (d/dz)((z - k)/(sin πz))^2 = lim_(t → 0) (d/dt) (t / sin (πt - πk))^2 ここで sin (πt - πk) = sin πt cos πk - cosπt sinπk = (-1)^k sin πt であるから 与式 = (-1)^k lim_(t → 0) (d/dt) (t / sinπt)^2 さて (d/dt) (t / sinπt)^2 = 2(t / sinπt) (d/dt)(t/sinπt) であり t/sin πt = (1/π) (πt/sin πt) → 1/π (as t → 0) だから問題は lim_(t → 0) (d/dt)(t/sinπt) = lim_(t → 0)((sin πt - πt cos πt)/sin^2 πt = lim_(x → 0) ((sin x - x cos x)/sin^2 x (x = πt) である。 二通りやり方がある。 (1) ロピタルの定理による方法 lim_(x → 0)(sin x - x cos x)/sin^2 x = lim_(x → 0)(cos x - cos x + x sin x)/(2 sin x cos x) = lim_(x → 0) (x sin x /(2 sin x cos x) = lim_(x → 0) (x/(2cos x)) = 0. (2) Taylor 展開による方法 sin x = x - x^3/3! + o(x^3), cos x = 1 - x^2/2! + o(x^2) より (sin x - x cos x)/sin^2 x = (x - x^3/3! - x + x^3/2! + o(x^3))/(x^2 + o(x^2)) = (x^3/3 + o(x^3))/(x^2 + o(x^2)) = (x/3 + o(x))/(1 + o(1)) → 0. 何れにしても 与式 = 0.