質問＜１＞９８／３／８
from=シンザン
「α４乗＋β４乗の変形式を教えてください！！」

お返事９８／３／１１
from=武田

高校の勉強では「α３乗＋β３乗」の因数分解までが範囲ですが、質問
がありましたので、調べてみました。はじめに日本評論社の「数学１０
０の問題」p.106フェルマーの問題のところで、でてきたクンマーの因数
分解です。
　　　ｘp+yp=(x+y)(x+ζy)(x+ζ2y)…(x+ζp-1y)
　　　ζp=1,ζ≠1
これが目にとまりましたので、ζを考えてみました。高校の数学Ｂの複
素数のところにでてくるド・モアブルの公式を使います。
　ζp=cos(pθ)+i sin(pθ)=1　より、θ=2π/p　となるから、
　　　　∴ζ=cos(2π/p)+i sin(2π/p)
これでうまくできると思ったのですが、ダメでした。p=3,5,7…の奇数の
時はＯＫですが、p=2,4,6…の偶数の時はペケでした。どうやら、「α４
乗＋β４乗」は因数分解できないようです。

あきらめかけたときに、学校の図書館で見た本の中に「対称式」と言うの
がありました。ｘ＋ｙ＝σ1 、ｘｙ＝σ2 とおいて、
ｘp ＋ｙp を変形し、σ1 またはσ2 
を使って因数分解する方法です。例えば、ｐ＝３のときをやってみましょう。
　　　　x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=σ13-3σ2σ1=σ1(σ12-3σ2)
となるので、因数分解できることがわかります。ｐ＝５，７……の奇数の
時はＯＫでしたが、残念ながらここでも、ｐ＝２，４，６……の偶数の時
は因数分解できませんでした。
どうやら本当に、「α４乗＋β４乗」は因数分解できないようです。

お便り９８／７／２２
from=kyukusu

a^4+b^4 はル－トが入ればできます。
a4+b4=a4+2*a2*b2+b4-2*a2*b2
          =(a2+b2)2-(√2*a*b)2
          =(a2+b2＋√2*a*b)(a2+b2－√2*a*b)
と言うことです．
またa^6+b^6
は因数分解可能です。
a^6+b^6=(a^2)^3+(a^2)^3
          =(a^2+b^2)(a^4-a^2*b^2+b^4)
という具合です．
暑い中頑張って下さい．
＿＿＿＿＿
name=kyukusu

お便り９８／７／２６
from=Hideo Nakayama

If square root of value is permitted as in the first problem, then the second
problem can be further factored as follows:  (SQRT(a) means square root of a.)
a6 + b6 = (a2 + b2) * (a4 - (a*b)2 + b4)
      = (a2 + b2) * (a4 + 2 * (a * b)2 + b4 - 3 *(a *b)2)
      = (a2 + b2) * ((a2 + b2)2 - (SQRT(3) * a * b)2) 
      =(a2 +b2 )*(a2 +b2 +SQRT(3)*a*b)*(a2 +b2 -SQRT(3)*a*b)

お便り９９／８／３０
from=野崎昭弘

（武田談：お手紙で頂きましたので、要約して掲載します。
なお、野崎先生は大妻女子大の教授で、私が所属する数教協
の委員長です。恐縮しています。）

武田さんが解答に使った日本評論社の「数学１００の問題」
p.106フェルマーの問題のところででてきたクンマーの因数分
解は誤植か、著者のうっかりミスだと思います。

ｘp+yp=(x+y)(x+ζy)(x+ζ2y)…(x+ζp-1y)
ただし、ζp=1,ζ≠1
　　　　ζ=cos(2π/p)+i sin(2π/p)

この式では、武田さんが言う「p=3,5,7…の奇数の時はＯＫで
すが、p=2,4,6…の偶数の時はペケでした。」となってしまい
ます。

クンマーの因数分解は、
ｘn－ｙn＝(x-y)(x-ζy)(x-ζ2y)…(x-ζn-1ｙ)
ただし、ζn＝１より、ζ＝cos(2π/n)＋ｉsin(2π/n)
ηn＝－１とすると、
ｘn＋ｙn＝ｘn－（ηｙ）n
＝(x-ηy)(x-ζηy)(x-ζ2ηy)…(x-ζn-1ηy)

ｎが奇数の時は、η＝－１となる。したがって、うっかりミス
の式となるので、武田さんの言う「p=3,5,7…の奇数の時はＯＫ」
となります。
ｎが偶数の時は、ηn＝－１より、
η＝cos(π/n)＋ｉsin(π/n)なので、うっかりミスの式には
ならないので、正しいクンマーの因数分解は
ζn＝１で、ηn＝－１とすると、
ｘn＋ｙn＝ｘn－（ηｙ）n
＝(x-ηy)(x-ζηy)(x-ζ2ηy)…(x-ζn-1ηy)
となるのです。

さて、質問はｎ＝４の場合ですから
ζ4＝１、η4＝－１
ζ＝cos(2π/4)＋ｉsin(2π/4)＝ｉ
η＝cos(π/4)＋ｉsin(π/4)＝（１／√２）（１＋ｉ）
ｘ4＋ｙ4＝(x-ηy)(x-ζηy)(x-ζ2ηy)(x-ζ3ηy)
　　　　１＋ｉ　　　　　１－ｉ　　　　　１＋ｉ　　　　　１－ｉ
＝(ｘ－────ｙ)(ｘ＋────ｙ)(ｘ＋────ｙ)(ｘ－────ｙ)
　　　　√２　　　　　　√２　　　　　　√２　　　　　　√２

したがって、偶数の場合も因数分解できます。