質問＜１０５９＞２００３／１／６
from=なみこ
「図形と方程式」

ｘｙ平面上に２点Ａ(－１，５)，Ｂ(３，２)と直線ｍ:ｙ＝－２ｘ－２があり、
点Ｐをｍ上の動点とする。
(1)点Ｐが直線ＡＢ上にあるときの、Ｐの座標を求めよ。また、このとき点Ｐは
　　線分ＡＢを何対何の比に外分するか、最も簡単な整数比で答えよ。
(2)ＡＰ＾２＋ＢＰ＾２の値が最小になるとき、点Ｐの座標と最小値を求めよ。
(3)ｍに関して点Ａと対称な点の座標を求めよ。また、ＡＰ＋ＢＰの最小値を
　　求めよ。

お便り２００３／１／１４
from=phaos

(1)
A, B を通る直線は
y = -3x/4 + 17/4.
これと m との交点を求めると
P(-5, 8).
x 軸上に正射影して
-1 と 3 を -5 が 1:2 に外分するから, 1:2.
(2)
P(x, -2x - 2) と置けるから
AP^2 + BP^2 = (x + 1)^2 + (-2x - 7)^2 + (x - 3)^2 + (-2x - 4)^2
= x^2 + 2x + 1
+4x^2 + 28x + 49
+ x^2 - 6x + 9
+4x^2 + 16x + 16
= 10x^2 +40x + 75
= 10(x^2 + 4x) + 75
= 10(x + 2)^2 - 40 + 75
= 10(x + 2) + 35.
よって x = -2 即ち P(-2, 2) の時最小で,
最小値は 35.
(3)
A と対称な点を A'(x, y) と置くと
(y + 5)/2 = -2(x - 1)/2 - 2. (A, A' の中点が m の上にある)
(y - 5)/(x + 1) = 1/2.  (直線 AA' は m と直行)
A'(-5, 3)
図を描いてみると分かるが, AP + BP の最小値は A'B の長さと等しいので
√((3 + 5)^2 + (3 - 2)^2) = √(8^2 + 1^2) = √65.