質問<1071>2003/1/15
「pならばq」を背理法で証明するとき、問題集では 「pならば(qの否定)」が矛盾することを示す手順で 書いていますが、 「(pの否定)ならばq」が矛盾することを示しても 証明としてはOKですか。 それとも「pならばq」であるとき、必ずしも「qならばp」 とは言えないのと同じように、必ずしも証明したことには ならないのでしょうか。
お便り2003/1/22
from=phaos
背理法は (「p ならば q」 を示したいときは) 「p と (q の否定) を同時に仮定すると矛盾する」 を示しているのであって 「p ならば (q の否定)」 を示してはいないはずです。 「(p の否定) と q を同時に仮定すると矛盾する」 事が示されたとすると, 証明できるのは (1) q ならば p, (2) (p の否定) ならば (q の否定) です。 最初のことをもう一度詳しく言っておきましょう。 「p ならば q」 が直接法で示せないときに間接法の一つである背理法 を用いて示すときは 先ず q を否定して, 色々変形していって, p と矛盾した結果を出します。 これは p と q の否定は同時には成り立たないことを示しているわけです。 だから 「p 且つ (q の否定)」 が矛盾するのであって, 「p ならば (q の否定)」 が矛盾しているのではないのです (実際にはこちらも矛盾しているかもしれませんが)。 (因みに古典論理では 「p ならば (q の否定)」 と 「(p の否定) 又は (q の否定)」 が同値ですから, これは 「p 且つ (q の否定)」 と同値ではありませんので, 多分矛盾 しないでしょう。) 論理学をちゃんと学びたいのなら 「記号論理学」 「数理論理学」 といった本を探して読んでみられることをお勧めします。