質問<11>98/6/2
ルート3やルート7が無理数であることはどう証明したらいいのでしょう. ルート2の場合は偶数であることで背理法を用いて証明できますが.
お返事98/6/4
from=武田
ルート2もルート3もルート7も背理法で証明します。 問1 ルート2が有理数と仮定します。有理数とは分数のことだから、 ルート2=N/M(M,Nは自然数)と表せる。ここでは、約分した 既約分数とする。 N2 2乗して、2=───となるから、分母を払って、 M2 2・M2 =N2 ……① 左辺は2の倍数だから、右辺も2の倍数となる。Nの2乗が2の倍数 ならば、Nも2の倍数となるから、N=2Kの形に書ける。 ただし、Kは自然数。 これを、①に代入して、2M2=(2K)2 2で両辺を割って、M2=2K2 右辺は2の倍数だから、左辺も2の倍数となる。Mの2乗が2の倍数 ならば、Mも2の倍数となるから、M=2Lの形に書ける。ただし、 Lは自然数。 N 2K K ─=──=─となり、既約分数であることに矛盾する。 M 2L L このような矛盾が生じたのは、ルート2を有理数と仮定したからである。 したがって、ルート2は無理数でなければならない。 問2 ルート3が有理数と仮定します。ルート3=N/M(M,Nは自然数) と表せる。ここでは、約分した既約分数とする。 2乗して、3=N2/M2となるから、分母を払って、 3M2=N2…① Nの2乗が3の倍数ならば、Nも3の倍数となる。 なんとなれば、 =================================== Nが3の倍数でないならば、Nの2乗は3の倍数でないを証明する。 (1)N=3k+1のとき、N2=(3k+1)2 =9k2+6k+1 =3(3k2+2k)+1 (2)N=3k+2のとき、N2=(3k+2)2 =9k2+12k+4 =3(3k2+4k+1)+1 したがって、証明された。 =================================== そこで、N=3Kの形に書ける。ただし、Kは自然数。 これを、①に代入して、3M2=(3K)2 3で両辺を割って、M2=3K2 右辺は3の倍数だから、左辺も3の倍数となる。 Mの2乗が3の倍数ならば、Mも3の倍数となるから、M=3Lの形に 書ける。ただし、Lは自然数。 N 3K K ─=──=─となり、既約分数であることに矛盾する。 M 3L L このような矛盾が生じたのは、ルート3を有理数と仮定したからである。 したがって、ルート3は無理数でなければならない。 問3 ルート7が有理数と仮定します。ルート7=N/M(M,Nは自然数) と表せる。ここでは、約分した既約分数とする。 2乗して、7=N2/M2となるから、分母を払って、 7M2=N2…① Nの2乗が7の倍数ならば、Nも7の倍数となる。 そこで、N=7Kとする。ただし、Kは自然数。 これを、①に代入して、7M2=(7K)2 7で両辺を割って、M2=7K2 右辺は7の倍数だから、左辺も7の倍数となる。 Mの2乗が7の倍数ならば、Mも7の倍数となるから、M=7Lの形に 書ける。ただし、Lは自然数。 N 7K K ─=──=─となり、既約分数であることに矛盾する。 M 7L L このような矛盾が生じたのは、ルート7を有理数と仮定したからである。 したがって、ルート7は無理数でなければならない。 問4 ルート4が有理数と仮定します。ルート4=N/M(M,Nは自然数) と表せる。ここでは、約分した既約分数とする。 2乗して、4=N2/M2となるから、分母を払って、 4M2=N2…① 左辺は4の倍数なので、右辺も4の倍数となる。 Nの2乗が4の倍数ならば、Nも4の倍数となるわけではなく、 2の倍数となる。N=2K これを、①に代入して、、4M2=(2K)2 4で両辺を割って、M2=K2 M=Kより、N/M=2K/K=2となり、ルート4は有理数2となる。 したがって、「ルートAが無理数」のAは平方数を除くことになる。 問5 ルート8が有理数と仮定します。ルート8=N/M(M,Nは自然数) と表せる。ここでは、約分した既約分数とする。 2乗して、8=N2/M2となるから、分母を払って、 8M2=N2…① 左辺は8の倍数だから、右辺も8の倍数となる。 Nの2乗が8の倍数ならば、Nは4の倍数となるから、 N=4Kの形に書ける。ただし、Kは自然数。 これを、①に代入して、、8M2=(4K)2 8で両辺を割って、M2=2K2 右辺は2の倍数だから、左辺も2の倍数となる。 Mの2乗が2の倍数ならば、Mも2の倍数となるから、M=2Lの形に書ける。 ただし、Lは自然数。 N/M=4K/2L=2K/Lとなり、既約分数であることに矛盾する。 このような矛盾がでたのは、ルート8を有理数と仮定したからである。 したがって、ルート8は無理数でなければならない。
お便り98/6/8
from=Akira Onaga
「ルート2もルート3もルート7も背理法で証明のつづき」
よくわかりました.ありがとうございました. 今年うちの一人娘が高校にはいって,数学の難しさに困っています. 父子2人3脚で頑張ろうというところです.私の質問など,基礎的な ことばかりで,面白みはないかと思いますが これからもよろしくお願いします. 一般的に次の定理が成り立つと思います. m2がn(mは正の整数,nは素数)の倍数ならmはnの倍数である. 証明: m2がnの倍数であるときmがnの倍数でないとすると m=kn+i と表せる.(kは正の整数,iはnより小さい正の整数) 両辺を2乗して, m2=k2・n2+2ikn+i2=(k2・n+2ik)n+i2 i2はnの倍数ではない(証明1より)のでこれはm2がnの倍数であることに反する. ∴mはnの倍数である 証明1: i2がnの倍数であるとすると i2=l・nと表せる.(lは正の整数) 両辺をiで割って i=(l・n)/i nは素数なのでnと1以外で割れないので, l・n=j・i・n(jは正の整数)と表される. 3行上の式にこれを代入すると, i=j・n これはi<nに反する. だからi2はnの倍数ではない. とこれでいいんでしょうかね.