質問

点Ａ（ａ，０）を通り、始線ＯＸとのなす角がαである
直線の極座標を求めよ。

直交座標でこれを満たす直線は

ｙ＝（ｔａｎα）ｘ－ａｔａｎα　で、

ｘ＝ｒcosθ　ｙ＝ｒsinθ　と置くと、・・・（１）

ｒsinθ＝ｒ（ｔａｎα）cosθ－ａｔａｎα

∴　ｒsin（θ－α）＝－ａsinα

のように、一度直交座標の式に置き換えてから
極座標を求めてもいいでしょうか？
どうも直接は求めにくいです。
あと、（１）のように置ける理由がわかりません。
よろしくお願いします。

お返事９９／２／２７
from=武田


直交座標の点Ｐ（ｘ、ｙ）は、極座標のｒ、θによって、
表現できる。直角三角形のｃｏｓとｓｉｎを使うと、
ｘ＝ｒ・ｃｏｓθ
ｙ＝ｒ・ｓｉｎθ
これが質問の（１）にあたるやつです。直交座標と極座標の
変換公式と思って良いでしょう。
これ以外に
ｘ²＋ｙ²＝ｒ²
ｙ
─＝ｔａｎθ
ｘ
と言うのもあります。

さて、質問の直交座標を使って良いかと言うことですが、大
いに結構です。まず直線ｌを直交座標で表現して、
ｙ＝ｔａｎα・ｘ＋ｂ……直線ｌ
これが点（ａ，０）を通るから
０＝ｔａｎα・ａ＋ｂ
∴ｂ＝－ａ・ｔａｎα
したがって、直線ｌは
ｙ＝ｔａｎα・ｘ－ａ・ｔａｎα
変換公式から
ｒ・ｓｉｎθ＝ｔａｎα・ｒ・ｃｏｓθ－ａ・ｔａｎα
両辺にｃｏｓαを掛けて、
ｒ・sinθ・cosα＝sinα・ｒ・cosθ－ａ・sinα
ｒ（sinθcosα－cosθsinα）＝－ａ・sinα
加法定理より、
∴ｒ・sin（θ－α）＝－ａ・sinα……（答）
したがって、これが直線ｌの極方程式である。

この問題を極座標で解くとすると、
点Ｐ（ｒ，θ）と点Ｈ（ｐ，β）を考える。
ただし、ＯＨ⊥ＰＨ（垂直）とする。
直角三角形△ＰＯＨにおいて、
ｒ・ｃｏｓ（θ－β）＝ｐ……①
この①が極座標における直線の極方程式（一般形）という。

さて、問題は点Ａ（ａ，０）を通るから、
ｒ＝ａ、θ＝０より、
ａ・ｃｏｓ（０－β）＝ｐ
∴ｐ＝ａ・ｃｏｓβ……②

さらに、∠ＸＡＨ＝αより、
三角形△ＡＯＨの内角の和は
β＋９０°＋（１８０°－α）＝１８０°
β＝－９０°＋α
　＝－（９０°－α）……③

①に、②③を代入して
ｒ・cos（θ＋９０°－α）＝ａ・cos｛－（９０°－α）｝
ｒ・cos｛９０°－（α－θ）｝＝ａ・cos（９０°－α）
三角関数の公式より、
ｒ・sin（α－θ）＝ａ・sinα
ｒ・sin｛－（θ－α）｝＝ａ・sinα
－ｒ・sin（θ－α）＝ａ・sinα
∴ｒ・sin（θ－α）＝－ａ・sinα……（答）
したがって、同じ答ができる。
こちらは①の公式を覚えておけば、意外と簡単かもしれない。