質問＜１３７＞９９／５／１
from=mebius
「n行ｎ列の逆行列の求め方」

はじめまして。
タイトルどおりなのですが、これに悩まされております。
参考書などでは２＊２の例があり、こういうものかとサクっ
と解けるのですが、３＊３、４＊４(今回教えていただきたい
のはこれです)あたりになると、どういった過程で求めればよ
いのか皆目検討が付きません。
　是非ご教授お願いします。

お返事９９／５／１
from=武田

次の三元一次連立方程式を解いてみましょう。
┌５ｘ＋６ｙ＋７ｚ＝８
│　ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝４
└９ｘ＋10ｙ－　ｚ＝-2
行列を使って表現すると、
┌５　６　７┐┌ｘ┐　┌８┐
｜１　２　３｜｜ｙ｜＝｜４｜
└９　10　-1┘└ｚ┘　└-2┘
となる。
┌５　６　７┐
｜１　２　３｜
└９　10　-1┘を行列Ａとすると、逆行列Ａ-1は
掃き出し法で、連立方程式の解を求めると同時に求めること
が出来る。

行│ｘ　ｙ　ｚ│定数項│　　逆行列　　　│操作
─┼─────┼───┼────────┼───────
１│５　６　７｜　８　｜１　　０　　　０｜
２｜１　２　３｜　４　｜０　　１　　　０｜
３｜９　10　-1｜　-2　｜０　　０　　　１｜
─┼─────┼───┼────────┼───────
４│１　２　３｜　４　｜０　　１　　　０｜２行
５｜５　６　７｜　８　｜１　　０　　　０｜１行
６│９　10　-1｜　-2　｜０　　０　　　１｜
─┼─────┼───┼────────┼───────
７│１　２　３｜　４　｜０　　１　　　０｜
８｜０　-4　-8｜ -12　｜１　　-5　　　０｜５行－４行×５
９│０　-8 -28｜ -38　｜０　　-9　　　１｜６行－４行×９
─┼─────┼───┼────────┼───────
10│１　２　３｜　４　｜０　　１　　　０｜
11｜０　１　２｜　３　｜-1/4　5/4　　 ０｜８行÷(-4)
12│０　-8 -28｜ -38　｜０　　-9　　　１｜
─┼─────┼───┼────────┼───────
13│１　０　-1｜　-2　｜1/2　-3/2　　 ０｜10行－11行×２
14｜０　１　２｜　３　｜-1/4　5/4　　 ０｜
15│０　０ -12｜ -14　｜-2　　１　　　１｜12行＋11行×８
─┼─────┼───┼────────┼───────
16│１　０　-1｜　-2　｜1/2　-3/2　　 ０｜
17｜０　１　２｜　３　｜-1/4　5/4　　 ０｜
18│０　０　１｜ 7/6　｜1/6　-1/12 -1/12｜15行÷(-12)
─┼─────┼───┼────────┼───────
19│１　０　０｜-5/6　｜2/3 -19/12 -1/12｜16行＋18行
20｜０　１　０｜ 2/3　｜-7/12　4/3　 1/6｜17行－18行×２
21│０　０　１｜ 7/6　｜1/6　-1/12 -1/12｜
─┴─────┴───┴────────┴───────

行列Ａが単位行列Ｉになるのと同時に、単位行列Ｉが逆行列
Ａ-1となる。逆行列Ａ-1は
┌2/3　　-19/12 -1/12┐　　１┌８　-19　-1┐
｜-7/12　　4/3　　1/6｜＝──｜-7　 16　２｜
└1/6　　-1/12　-1/12┘　１２└２　 -1　-1┘
となる。
また、連立方程式の解はｘ＝-5/6，ｙ＝2/3，ｚ＝7/6　である。
逆行列だけ求めるときは、上の表の定数項の列をカットして計
算して下さい。

大学の線形代数学の行列式のところに、逆行列の計算公式がの
っていますので、そちらも参考にして下さい。