質問<1417>2003/9/24
はじめまして。ベクトル苦手なんで教えてください。 Oを原点とする座標空間内に4点A(1,0、-1)B(2,1,0) C(-1,2、-1)D(-2、-1,3)がある。 直線AB上の動点をPとし、直線CD上の動点をQとする。 問1 Pが直線AB上を、Qが直線CD上を動くとき、ORベクトル=PQベクトルで 定まる点Rはある定平面上を動くことを証明せよ。 問2 Pが線分AB上を、Qが線分CD上を動くとき、問1のRが描く図形の面積を 求めよ。
お便り2003/9/25
from=phaos
問 1. OR = PQ = OQ - OP = sOC + (1 - s)OD - (tOA + (1 - t)OB) = (-s, 2s, -s) + (-2 + 2s, -1 + s, 3 - 3s) - (t, 0, -t) - (2 - 2t, 1 - t, 0) = (-4 + s + t, -2 + 3s + t, 3 - 4s + t) ここで x = -4 + s + t, y = -2 + 3s + t, z = 3 - 4s + t と置いて x - y = -2 - 2s, y - z = -5 + 7s. 7(x - y) + 2(y - z) = -14 - 14s - 10 + 14s 7x - 5y - 2z = -24. [別解] OR = OQ - OP = OC + sCD - OA - tAB = (-2, 2, 0) + s(-1, -3, 4) - t(1, 1, 1) で, (-1, -3, 4)×(1, 1, 1) = (-7, 5, 2) だから法線ベクトルが (7, -5, -2) で (-2, 2, 0) を通る平面だから (以下略)。 問2. 上記で 0 ≦ s ≦ 1, 0 ≦ t ≦ 1 の場合である。 (s, t) = (0, 0) の時 P_0(-4, -2, 3), (s, t) = (0, 1) の時 P_1(-3, -1, 4), (s, t) = (1, 0) の時 P_2(-3, 1, -1), (s, t) = (1, 1) の時 P_3(-2, 2, 0). P_0P_1 = (1, 1, 1), P_0P_2 = (1, 3, -4), P_0P_3 = (2. 4, -3) 当然ながら P_0P_3 = P_0P1 + P_0P_2 なので この四点を結んで出来る図形は平行四辺形である。 P_0P_1・P_0P_2 = 0 より実は長方形なので, 求める面積は |P_0P_1||P_0P_2| = (√3)・(√26) = √78.