質問＜１４１７＞２００３／９／２４
from=とし
「ベクトルの問題」

はじめまして。ベクトル苦手なんで教えてください。

Oを原点とする座標空間内に４点A(１，０、－１）B（２，１，０）
C(－１，２、－１）D(－２、－１，３）がある。
直線AB上の動点をPとし、直線CD上の動点をQとする。

問１
Pが直線AB上を、Qが直線CD上を動くとき、ORベクトル＝PQベクトルで
定まる点Rはある定平面上を動くことを証明せよ。

問２
Pが線分AB上を、Qが線分CD上を動くとき、問１のRが描く図形の面積を
求めよ。

お便り２００３／９／２５
from=phaos

問 1.
OR = PQ
= OQ - OP
= sOC + (1 - s)OD - (tOA + (1 - t)OB)
= (-s, 2s, -s) + (-2 + 2s, -1 + s, 3 - 3s)
 - (t, 0, -t) - (2 - 2t, 1 - t, 0)
= (-4 + s + t, -2 + 3s + t, 3 - 4s + t)
ここで
x = -4 + s + t,
y = -2 + 3s + t,
z = 3 - 4s + t
と置いて
x - y = -2 - 2s,
y - z = -5 + 7s.
7(x - y) + 2(y - z) = -14 - 14s - 10 + 14s
7x - 5y - 2z = -24.

[別解]
OR = OQ - OP = OC + sCD - OA - tAB
= (-2, 2, 0) + s(-1, -3, 4) - t(1, 1, 1)
で, (-1, -3, 4)×(1, 1, 1) = (-7, 5, 2)
だから法線ベクトルが (7, -5, -2) で (-2, 2, 0)
を通る平面だから (以下略)。

問2.
上記で 0 ≦ s ≦ 1, 0 ≦ t ≦ 1 の場合である。
(s, t) = (0, 0) の時 P_0(-4, -2, 3),
(s, t) = (0, 1) の時 P_1(-3, -1, 4),
(s, t) = (1, 0) の時 P_2(-3, 1, -1),
(s, t) = (1, 1) の時 P_3(-2, 2, 0).
P_0P_1 = (1, 1, 1),
P_0P_2 = (1, 3, -4),
P_0P_3 = (2. 4, -3)
当然ながら P_0P_3 = P_0P1 + P_0P_2 なので
この四点を結んで出来る図形は平行四辺形である。
P_0P_1・P_0P_2 = 0 より実は長方形なので,
求める面積は
|P_0P_1||P_0P_2|
= (√3)・(√26)
= √78.