質問＜１４３９＞２００３／１０／３
from=Bee
「正七角形」

初めまして。よろしくおねがいします。

半径１の円に内接する正七角形A０A1A2A3A4A5A6に対し、
線分A0A1,A0A2,A0A3の長さの積、A０A1・A０A2・A０A3の値は
何になりますか？？

お便り２００３／１０／１６
from=T.Kobayashi

まず、正弦の7倍公式を計算する。
sin(2t)=2sin(t)cos(t),
cos(2t)=1-2sin^2(t),
sin(3t)=3sin(t)-4sin^3(t),
cos(3t)=(1-4sin^2(t))cos(t),
sin(4t)=2sin(2t)cos(2t)=2(2sin(t)cos(t))(1-2sin^2(t))
　　　　=(4sin(t)-8sin^3(t))cos(t),
cos(4t)=1-2sin^2(2t)=1-2(2sin(t)cos(t))^2=1-8sin^2(t)+8sin^4(t),
sin(7t)
=sin(4t)cos(3t)+cos(4t)sin(3t)
=(4sin(t)-8sin^3(t))cos(t)(1-4sin^2(t))cos(t)+(1-8sin^2(t)
　　　　　　　　　　　　　　　　　+8sin^4(t))(3sin(t)-4sin^3(t))
=(4sin(t)-8sin^3(t))(1-4sin^2(t))(1-sin^2(t))+(1-8sin^2(t)
　　　　　　　　　　　　　　　　　+8sin^4(t))(3sin(t)-4sin^3(t))
=7sin(t)-56sin^3(t)+112sin^5(t)-64sin^7(t).
これより、多項式 7x-56x^3+112x^5-64x^7 の零点が 
x=sin(2n\pi/7) (n=0..6) であることがわかる。
上記多項式をxで割れば、7-56x^2+112x^4-64x^6 の零点は 
x=sin(2n\pi/7) (n=1..6) である。
根と係数との関係より、
sin(2\pi/7)sin(4\pi/7)sin(6\pi/7)sin(8\pi/7)sin(10\pi/7)sin(12\pi/7)
=-7/64
で、sin(2(7-n)\pi/7)=-sin(2n\pi/7) であるから、
sin(2\pi/7)sin(4\pi/7)sin(6\pi/7)=sqrt(7)/8
となる(符号に注意せよ)。
一方、A_0A_1.A_0A_2.A_0A_3=8sin(2\pi/7)sin(4\pi/7)sin(6\pi/7) である。
したがって、A_0A_1.A_0A_2.A_0A_3 = sqrt(7) ...(答)

お便り２００３／１０／２２
from=juin

複素数平面上で単位円を考える。
A0=1,A1=z=cos(2Pi/7)+isin(2Pi/7)とする。
A2=z^2,A3=z^3,A4=z^4,A5=z^5,A6=z^6とする。
求める値の２乗を計算する。
(A1-A0)(A2-A0)(A3-A0)(A4-A0)(A5-A0)(A6-A0)
=(z-1)(z^2-1)(z^3-1)(z^4-1)(z^5-1)(z^6-1)
=1-z-z^2+z^5+2z^7-z^9-z^10-z^11-z^12+2z^14+z^16-z^19-z^20-z^21
ここで、z^7=1を使って整理する。
1-z-z^2+z^5+2-z^2-z^3^z^4-z^5+2+z^2-z^5-z^6+1
=6-z-z^2-z^3-z^4-z^5-z^6
1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=0だから、
計算結果は７となる。
答は√7となる。