質問＜１４５０＞２００３／１０／１６
from=suneo
「平行六面体」

平行六面体ABCD-EFGHにおいて、辺CDの中点をM、
辺EHの中点をN、対角線AGと平面BCDとの交点をP、
平面FMNとの交点をQとする
vec,AB=vec,a vec,AD=vec,b vecAE=vec,c
とするとき次のベクトルを vec,a vec,b vec,cで表せ
(1)vec,AG (2)vec,AP (3)vec,AQ
よろしくお願いします

お便り２００３／１０／２９
from=CharlieBrown

お久しぶりです。
未解決問題を解いたので解答を送ります。
まず初めに、問題に誤りがあると思われます。
点Pの定義は対角線AGと平面BCDの交点ではなく、
おそらく対角線AGと平面BDEの交点でしょう。
僕が問題を作成するなら、このように定義します。
そこで、この定義のもとで問題を解きます。

(1)vecAG = vecAB+vecBC+vecCG
         = vecAB+vecAD+vecAE
         = veca+vecb+vecc
(2)点Pは平面BDE上にあるので、
   vecAP = αvecAB+βvecAD+γvecAE ただしα+β+γ=1
   とおける。一方、点Pは対角線AG上にあるので、(1)より
   vecAP = kvecAG
         = kveca + kvecb + kvecc
   とおける。
   係数比較して、α=β=γ=k=1/3 と求まる。
   ゆえに、
   vecAP = 1/3veca+1/3vecb+1/3vecc
(3)点Qは平面CMN上にあるので、
   vecAQ = αvecAC+βvecAM+γvecAN ただしα+β+γ=1
   とおける。
   vecAC = veca + vecc
   vecAM = 1/2veca + vecb
   vecAN = 1/2vecb + vecc
   であるから、代入して整理すると、
   vecAQ = (α+1/2β)veca + (β+1/2γ)vecb + (α+γ)vecc
   と表せる。一方、点Pは対角線AG上にあるので、
   vecAP = kvecAG
         = kveca + kvecb + kvecc
   とおける。
   係数比較して、α=1/3,β=4/9,γ=2/9,k=5/9と求まる。   ゆえに、
   vecAP = 5/9veca+5/9vecb+5/9vecc