質問<1450>2003/10/16
平行六面体ABCD-EFGHにおいて、辺CDの中点をM、 辺EHの中点をN、対角線AGと平面BCDとの交点をP、 平面FMNとの交点をQとする vec,AB=vec,a vec,AD=vec,b vecAE=vec,c とするとき次のベクトルを vec,a vec,b vec,cで表せ (1)vec,AG (2)vec,AP (3)vec,AQ よろしくお願いします
お便り2003/10/29
from=CharlieBrown
お久しぶりです。 未解決問題を解いたので解答を送ります。 まず初めに、問題に誤りがあると思われます。 点Pの定義は対角線AGと平面BCDの交点ではなく、 おそらく対角線AGと平面BDEの交点でしょう。 僕が問題を作成するなら、このように定義します。 そこで、この定義のもとで問題を解きます。 (1)vecAG = vecAB+vecBC+vecCG = vecAB+vecAD+vecAE = veca+vecb+vecc (2)点Pは平面BDE上にあるので、 vecAP = αvecAB+βvecAD+γvecAE ただしα+β+γ=1 とおける。一方、点Pは対角線AG上にあるので、(1)より vecAP = kvecAG = kveca + kvecb + kvecc とおける。 係数比較して、α=β=γ=k=1/3 と求まる。 ゆえに、 vecAP = 1/3veca+1/3vecb+1/3vecc (3)点Qは平面CMN上にあるので、 vecAQ = αvecAC+βvecAM+γvecAN ただしα+β+γ=1 とおける。 vecAC = veca + vecc vecAM = 1/2veca + vecb vecAN = 1/2vecb + vecc であるから、代入して整理すると、 vecAQ = (α+1/2β)veca + (β+1/2γ)vecb + (α+γ)vecc と表せる。一方、点Pは対角線AG上にあるので、 vecAP = kvecAG = kveca + kvecb + kvecc とおける。 係数比較して、α=1/3,β=4/9,γ=2/9,k=5/9と求まる。 ゆえに、 vecAP = 5/9veca+5/9vecb+5/9vecc