質問＜１４５３＞２００３／１０／１９
from=よっしー
「漸化式の答え方について」

a1=1,an+1=2an-3で定義された漸化式の一般項を求める問題について、
a1=1,a2=-1,a3=-5,a4=-13,...より、
数列{an}の階差数列が-2,-4,-8,...なのでan=3-2^nとなることが予想される。
逆にan=3-2^nを元の漸化式に代入すると等式が成り立つのでan=3-2^nである。
という解答をかいたら正解ですか？

お返事２００３／１０／２５
from=武田

ｘ^2－２ｘ－３＝０の解がｘ＝３と予想してから、
与式に代入すると、等式が成り立つので、解はｘ＝３と答えると、
ｘ＝－１が困ってしまう。
普通、因数分解して、（ｘ－３）（ｘ＋１）＝０∴ｘ＝３，－１

この漸化式の問題は、次のようにして解きます。
１，－１，－５，－１３，………
　∨　　∨　　∨　
－２　－４　－８　
　　∨　　∨
　×２　×２

階差数列は等比数列なので、ｂｎ＝（－２）・２^(n-1)
もとの数列の一般項は、
　　　　　n-1　　　　　n-1
ａｎ＝１＋Σ　ｂｋ＝１＋Σ　（－２）・２^(k-1)
　　　　　k=1　　　　　k=1

　　　　　（－２）｛２^(n-1)－１｝
　　＝１＋――――――――――――＝１－２^n＋２
　　　　　　　　　２－１

　　＝３－２^n　………（答）

（別解）
漸化式ａn+1＝２ａｎ－３より
数列ａｎの極限値をｘとおくと、
ｘ＝２ｘ－３
∴ｘ＝３
漸化式の両辺から極限値の３を引くと、
ａn+1－３＝（２ａｎ－３）－３
　　　　 ＝２ａｎ－３－３
　　　　 ＝２ａｎ－６
　　　　 ＝２（ａｎ－３）

ａｎ－３＝ｂｎとおくと、
ｂn+1＝２ｂｎ
公比２
ａ１－３＝ｂ１
初項ｂ１＝１－３＝－２
∴ｂｎ＝（－２）・２^(n-1)
ａｎ＝ｂｎ＋３より、
∴ａｎ＝（－２）・２^(n-1)＋３
　　　＝－２^n＋３………（答）