質問<1556>2004/1/19
三角形OABにおいて、 OA=2、OB=√3、cos∠AOB=1/√3とする。 直線AB上に点CをOC⊥ABとなるようにとる。 また、OA→=a→、OB→=b→とする。 (1)内積a→・b→の値を求めよ。 (2)AC→=tAB→とするとき定数tの値を求めよ。 (3)辺OBを2:1に内分する点をD、辺ABを2:1に外分する 点をEとする。線分OCと直線DEとの交点をFとする。 OF→をa→、b→で表せ。
お便り2004/1/24
from=wakky
ベクトルaを(V)aと表します。 間違ってたらすみません・・・あまり自信ないので(笑) (1) (V)a・(V)b=|(V)a||(V)b|cos∠AOB =2×√3×1/√3=2 (2) (V)AC=t(V)AB=t{(V)b-(V)a} また (V)OC=(V)a+(V)AC=(V)a+t{(V)b-(V)a}=(1-t)(V)a+t(V)b (V)AC⊥(V)OCより (V)AC・(V)OC=0 (V)AC・(V)OC=t{(V)b-(V)a}・{(1-t)(V)a+t(V)} =3t^2-2t=0(途中計算省略しました、前問の結果を利用します。) 題意よりt≠0より t=2/3 (3) △OCBを直線EFで分割したと考えて メネラウスの定理より OF/FC×CE/BE×BD/DO=1 ここでAE:BE=2:1よりBE=AB また前問より (V)AC=t(V)AB=2/3(V)ABより (V)CB=(V)AB-2/3(V)AB=1/3(V)AB よって CE=AB+1/3AB=4/3AB ∴ CE/BE=4/3AB / AB=4/3 また、BD:DO=2:1より BD/DO=2 ∴ OF/FC × 4/3 ×2 = 1 OF/FC=3/8 OF:FC=3:8よりOF:OC=3:11 よって (V)OF=3/11(V)OC 前問より (V)OC =(V)OC=(V)a+(V)AC=(V)a+t{(V)b-(V)a}=(1-t)(V)a+t(V)b =1/3(V)a+2/3(V)bだったから (V)OF=3/11(V)OC=3/11(V)a+2/11(V)b