質問＜１５８８＞２００４／２／１６
from=さみ
「高2レベルの微分なのですが。」

直線y=3x+1/2上の点P(p,q)から放物線y=x＾2の法線は
何本引けるか調べよ。
という問題です。
いきなりなんですが緊急事態なので大至急教えてください。

お便り２００４／３／３
from=naoya

y=x^2上に点T(t,t^2)をとる
点Tにおけるy=x^2の接線：y=2tx-t^2 ・・・①

T=Pとなる点(⇔y=x^2とy=3x+1/2の交点(点A,Bとおく))を求めておく
x^2-3x-1/2=0よりx=(3±√11)/2であるから、
A((3+√11)/2, 5+(3√11)/2), B((3-√11)/2, 5-(3√11)/2)

[I]T≠Pのとき
    直線PT：(t-p)(y-t^2)=(t^2-q)(x-t) ・・・②
    ①と②が垂直であるとき、直線PTは点Tにおけるy=x^2の法線になる
    直線①②の垂直条件より
    2t(t^2-q) + (-1){-(t-p)} = 0 ⇔ 2t^3-6pt-p=0
    ここで、f(t)=2t^3-6pt-pとおくと、tについての方程式f(t)=0の実数解
    の個数が求める法線の本数となる
    f'(t)=6t^2-6p
    (1)p≦0のとき
        f(t)は単調増加であるので、f(t)=0の実数解は1個
        ただし、点Bにおける法線1本は除く
    (2)p>0のとき
        f(-√p)=ａ, f(√p)=ｂとおくと、増減表は以下のようになる
        x | … | -√p | … | √p  | …
       ---+----+------+----+------+----
        f'| ＋ |  ０  | － |  ０  | ＋
       ---+----+------+----+------+----
        f | ／ |  ａ  | ＼ |  ｂ  | ／ 
        ここで、
        ｂ=-p(4√p +1) ＜0なので、
        ａ=p(4√p -1)の符号のみを調べればよい
        ａ>0 つまり p>1/16  のとき、f(t)=0の実数解は3個
        ａ=0 つまり p=1/16  のとき、f(t)=0の実数解は2個
        ａ＜0 つまり 0＜p＜1/16のとき、f(t)=0の実数解は1個
        ただし、p>1/16のうち、点Aにおける法線1本は除く
    (1)(2)より、p＜1/16…1本(ただし、点Bにおける法線1本は除く)
                p=1/16…2本
                p>1/16…3本(ただし、点Aにおける法線1本は除く)
[II]T＝Pのとき
    点A,Bにおけるy=x^2の法線はそれぞれ1本ずつ引ける

以上、[I][II]より、 p＜1/16…1本
                    p=1/16…2本
                    p>1/16…3本   …(答)

お便り２００４／３／１１
from=Tetsuya Kobayashi