質問<1588>2004/2/16
直線y=3x+1/2上の点P(p,q)から放物線y=x^2の法線は 何本引けるか調べよ。 という問題です。 いきなりなんですが緊急事態なので大至急教えてください。
お便り2004/3/3
from=naoya
y=x^2上に点T(t,t^2)をとる 点Tにおけるy=x^2の接線:y=2tx-t^2 ・・・① T=Pとなる点(⇔y=x^2とy=3x+1/2の交点(点A,Bとおく))を求めておく x^2-3x-1/2=0よりx=(3±√11)/2であるから、 A((3+√11)/2, 5+(3√11)/2), B((3-√11)/2, 5-(3√11)/2) [I]T≠Pのとき 直線PT:(t-p)(y-t^2)=(t^2-q)(x-t) ・・・② ①と②が垂直であるとき、直線PTは点Tにおけるy=x^2の法線になる 直線①②の垂直条件より 2t(t^2-q) + (-1){-(t-p)} = 0 ⇔ 2t^3-6pt-p=0 ここで、f(t)=2t^3-6pt-pとおくと、tについての方程式f(t)=0の実数解 の個数が求める法線の本数となる f'(t)=6t^2-6p (1)p≦0のとき f(t)は単調増加であるので、f(t)=0の実数解は1個 ただし、点Bにおける法線1本は除く (2)p>0のとき f(-√p)=a, f(√p)=bとおくと、増減表は以下のようになる x | … | -√p | … | √p | … ---+----+------+----+------+---- f'| + | 0 | - | 0 | + ---+----+------+----+------+---- f | / | a | \ | b | / ここで、 b=-p(4√p +1) <0なので、 a=p(4√p -1)の符号のみを調べればよい a>0 つまり p>1/16 のとき、f(t)=0の実数解は3個 a=0 つまり p=1/16 のとき、f(t)=0の実数解は2個 a<0 つまり 0<p<1/16のとき、f(t)=0の実数解は1個 ただし、p>1/16のうち、点Aにおける法線1本は除く (1)(2)より、p<1/16…1本(ただし、点Bにおける法線1本は除く) p=1/16…2本 p>1/16…3本(ただし、点Aにおける法線1本は除く) [II]T=Pのとき 点A,Bにおけるy=x^2の法線はそれぞれ1本ずつ引ける 以上、[I][II]より、 p<1/16…1本 p=1/16…2本 p>1/16…3本 …(答)
お便り2004/3/11
from=Tetsuya Kobayashi