質問

　ルート５が無理数だということを証明しなさい。

　→ルート５が無理数だと仮定する。
　　ｍ、ｎを１以外に公約数がない自然数とする。
　　ルート５＝ｍ÷ｎ（分数です）
　　ルート５ｎ＝ｍ　となり
　　左辺は無理数で、右辺は有理数となり
　　両辺は矛盾する。
　　ゆえに、ルート５は無理数である。

　という解き方は正しいですか？

お便り２００４／２／１６
from=こんにちは

完全に間違いです。

√５が無理数であることを示すために
√５を有理数であることを使ってしまっています。

やはり√２が無理数であるときの証明同様
ｍ×ｍ＝５n×nとやって証明していくよりほかはありません。

お便り２００４／２／１７
from=naoya

根本的に間違ってます。
無理数と仮定して、互いに素な2整数の比としてsqrt(5)をおいているところが
間違っています。

[解答]
sqrt(5)が有理数であると仮定すると、互いに素な2つの整数m,nを用いて、
sqrt(5) = m/n とおける。
両辺二乗して、分母を払うと
5n^2=m^2 ・・・①
これより、m^2は5の倍数である必要がある。5は素数であるから、
mも5の倍数となり、・・・②
m=5k（k∈Z）とおいて①に代入して整理すると、
n^2=5k^2となり、n^2も5の倍数となる。先と同様の理由より、
nも5の倍数でなければならない。・・・③
②③より、m,nはともに公約数5を持つことになり、
これはm,nが互いに素であることに矛盾する。
これは、最初にsqrt(5)を有理数と仮定した点から生じた矛盾であるから、
ゆえに、sqrt(5)は無理数である。

お便り２００４／２／１７
from=wakky

左辺の√5nが無理数？
√5が無理数であることが証明されないうちに√5nが無理数だと
言っていることになりますね。
これでは証明になりません。

背理法を使うのであれば、√5は有理数と仮定します。
そうすると
√5=n/m（nとmは互いに素）とおけます。
従って5m^2=n^2となるから、n^2は5の倍数
つまり、nは5の倍数です。
ここでn=5pとおくと
5m^2=25p^2より　m^2=5p^2
これはm^2が5の倍数。すなわちmが5の倍数ということです。
あれれ？　nとmは互いに素だったのでは？
同じ因数をもつってことは互いに素ではないので、矛盾となります。
従って、√5無理数だということになります。

お便り２００４／２／１７
from=juin

「√5が無理数である」と仮定する。
途中の式が無くても、
「√5は無理数である」
となる。
これは、何も証明していない。